LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2002/2003

Zadania przygotowawcze do etapu I-go dla uczniów klas I gimnazjum
Tematyka:
1. Działania na liczbach wymiernych.
2. Podzielność liczb naturalnych i całkowitych.
3. Obliczenia procentowe.
4. Graniastosłupy.
Zadanie 1
Wyznacz liczbę dzielników liczby 25 + 24 × 33 + 22 × 32.

Zadanie 2
Zbadaj, który z ułamków jest większy: 39/158 czy 0,24(5) ?
Rozwiązanie Kamila Brożyny

Zadanie 3
Oblicz   .

Zadanie 4
Właściciel domu chcąc oszczędzić energię elektryczną, dokonał trzech usprawnień, które obniżyły wydatki na ogrzewanie domu kolejno o 20%, o 25% i o 60%. O ile procent zmiejszyły się jego wydatki na ogrzewanie domu?

Rozwiązanie Pawła Gierlasińskiego
Zadanie 5
Wyznacz sumę: 

Rozwiązanie Mateusza Grupy
Zadanie 6
Wyznaczyć wszystkie liczby pięciocyfrowe abcde, które dzielą się przez 36 i dla których a<b<c<d<e.

Rozwiązanie Michała Kęder
Zadanie 7
Ile istnieje trzycyfrowych liczb przy zapisie których użyto tylko raz cyfry 5?

Rozwiązanie Marcina Kopczyńskiego
Zadanie 8
2002 jest liczbą palindromiczną tzn., że czytana z lewej strony do prawej i odwrotnie z prawej do lewej jest tą samą liczbą. Poprzednią liczbą palindromiczną jest 1991. Jaka jest maksymalna odległość pomiędzy dwiema kolejnymi liczbami palindromicznymi zawartymi wśród liczb od 1000 do 9999?

Rozwiązanie Agaty Kozińskiej
Zadanie 9
Uzasadnij, że jeśli n jest liczbą naturalną, to ułamek (n×n+2n-1)/(n×n+2n) jest nieskracalny.

Zadanie 10
W przykładzie zapisanym na tablicy klasowy dowcipniś zmienił dwie cyfry i otrzymano zapis: 4 × 5 × 4 × 5 × 4 = 2247.
Odtwórz pierwotny zapis.

Rozwiązanie Maćka Lewandowskiego
Zadanie 11
Czy wśród liczb od 1 do 2002 włącznie więcej jest liczb podzielnych przez 3, czy też liczb, które dzielą się przez 4 lub przez 5?

Rozwiązanie Mateusza Mickiewicza
Zadanie 12
Buty kosztujące 100zł przeceniono o 20%. Po miesiącu, w związku z sezonową obniżką cen, wszystkie ceny zmniejszono o 20 %, a po kolejnym miesiącu dokonano następnej przeceny i wtedy buty kosztowały 60 zł. O ile procent była ostatnia obniżka?

Rozwiązanie Magdy Nieżurawskiej
Zadanie 13
Czy można znaleźć 55 różnych liczb dwucyfrowych takich, że wśród nich nie ma liczb dających w sumie 100?

Zadanie 14
Wyznacz liczbę dzielników liczby  65 + 24 × 36 + 26 × 34.

Zadanie 15
Zbadaj, który z ułamków jest większy: 37/136 czy 0,2(740) ?

Rozwiązanie Mikołaja Pszczółki
Zadanie 16
W graniastosłupie liczba krawędzi jest o 2002 większa od liczby ścian. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup i jaki wielokąt jest jego podstawą?

Zadanie 17
Oblicz:


Rozwiązanie Magdy Ryczkowskiej
Zadanie 18
Czy liczba 66...6, w której cyfra 6 powtarza się razy 2002 jest kwadratem liczby naturalnej?

Zadanie 19
Uzasadnij, że jeśli n jest liczbą naturalną, to ułamek (n×n+n-1)/(n×n+2n) jest nieskracalny.

Rozwiązanie Błażeja Smułka
Zadanie 20
Reszta z dzielenia liczby pierwszej przez 21 jest liczbą złożoną. Jakie liczby mogą być takimi resztami?

Rozwiązanie Pawła Sobocińskiego
Zadanie 21
Wyznacz wszystkie liczby pierwsze p, dla których liczba pp+1 + 2 jest liczbą pierwszą.

Zadanie 22
Czy można liczby naturalne od 32 do 86 włącznie wypisać w pewnej kolejności tak, by otrzymany zapis był zapisem liczby pierwszej?

Rozwiązanie Pauliny Szewczyk
Zadanie 23
Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne, których sumy cyfr są podzielne przez 101?

Zadanie 24
Każdy z następujących ułamków przedstaw w postaci ułamka zwykłego:
a)0,7(3) b)0,(134) c)0,22(13) d)0,(2002) e)0,123(114)

Rozwiązanie Kingi Tatary

Zadanie 25
W pewnej klasie dziewczęta stanowiły 62,5% liczby uczniów. Do klasy przybyła jedna osoba i wówczas dziewczęta stanowiły 64% liczby uczniów. Ilu chłopców jest w tej klasie?

Rozwiązanie Piotra Tylendy
Zadanie 26
Dwa prostopadłościenne pudełka mają równe objętości. Jedno z nich ma 1,2 dm wysokości i pole podstawy wynoszące 4,8 dm2. Obliczyć wysokość drugiego pudełka, jeżeli pole jego postawy jest równe 3,6 dm2.

Rozwiązanie Marcina Walentynowicza
Zadanie 27
Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne, których sumy cyfr są podzielne przez 101?
Rozwiązanie Iwony Lis
Zadanie 28
Oblicz .

Rozwiązanie Pawła Rzymyszkiewicza
Zadanie 29
Mydło w kształcie prostopadłościanu po pewnym czasie zmniejszyło swoje wymiary do połowy. Ile razy większą objętość miało mydło przed zmydleniem?

Zadanie 30
Długość wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 76,8 cm. Oblicz objętość tego sześcianu.

Rozwiązanie Justyny Piotrowskiej
Zadanie 31
Na giełdzie jedna akcja przedsiębiorstwa SPADEK miała wartość 300 zł. W pierwszej połowie roku cena spadła o 10%, w drugiej wzrosła o 10%. Ile złotych obecnie trzeba zapłacić za 100 akcji tego przedsiębiorstwa?

Rozwiązanie Filipa Zielińskiego
Rozwiązanie Pawła Sobierajskiego
Zadanie 32
Na konto pana Zbyszka wpłynęła jego pensja netto w wysokości 2000 zł. Podatek i inne obciążenia były równe 48% pensji brutto. Ile złotych brutto zarabia pan Zbyszek?

Rozwiązanie Bartka Rybickiego
Zadanie 33
Połowa zadań to zadania trudne, a połowa zadań to zadania nudne. Ile procent zadań trudnych stanowią zadania nudne, jeśli co trzecie z zadań nudnych to zadanie trudne?

Zadanie 34
Bogacz posiadając 100 000 złotych, aby wesprzeć biedaka mającego tylko złotówkę, dał biedakowi 100 złotych. O ile procent zbiedniał bogacz? O ile procent wzbogacił się biedak?

Zadanie 35
Księgarnia płaci wydawnictwu 80% ceny wydrukowanej na okładce, a sprzedaje ją po cenie wydrukowanej na okładce książki. Ile procent wynosi zysk księgarni?

Zadanie 36
Znajdź wszystkie liczby trzycyfrowe, w których suma dwóch dowolnie wybranych cyfr dzieli się przez trzecią cyfrę. (Liczbami o tej własności są na przykład 111 i 963.)

Zadanie 37
Napisano dwa razy z rzędu tę samą liczbę trzycyfrową i otrzymano liczbę sześciocyfrową. Udowodnij, że otrzymana liczba jest podzielna przez 7, 11 oraz 13.

Zadanie 38
Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 2002 niepodzielnych ani przez 5 ani przez 11?

Rozwiązanie Pawła Rzymyszkiewicza