Liga Zadaniowa UMK w Toruniu 2002/2003

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2002/2003
Zadania przygotowawcze do etapu III-go dla uczniów klas II gimnazjum
Tematyka: 1. Wielokąty foremne. 2. Okrąg opisany na trójkącie i okrąg wpisany w trójkąt. 3. Symetrie w układzie współrzędnych. 4. Podzielność liczb całkowitych.
Zadanie 1
Wyznaczyć pole i obwód sześciokąta foremnego, w który można wpisać okrąg o promieniu r = 6 cm.
Zadanie 2
W rombie ABCD dane są wierzchołki A = (-1,-3) i C = (-1,5). Wyznaczyć współrzędne wierzchołków B i D wiedząc, że pole tego rombu jest równe 24.
Zadanie 3
Czy zbiór {(1,1), (5,1), (1,5)} ma osie symetrii? Jeśli tak, wyznaczyć równania wszystkich osi symetrii tego zbioru. Czy powyższy zbiór ma środki symetrii. Wyznaczyć współrzędne wszytskich środków symetrii tego zbioru o ile istnieją.
Zadanie 4
Wierzchołkami czworokąta ABCD są punkty A = (-4,0), B = (6,0), C = (2,3) i D = (-4,3). Niech A₁B₁C₁D₁ będzie obrazem czworokąta ABCD w symetrii osiowej względem osi OY. Wyznacz pole i obwód części wspólnej czworokątów ABCD i A₁B₁C₁D₁.
Zadanie 5
Dany jest trójkąt OAB, gdzie A = (4,0), B = (0,4), O = (0,0). Niech A₁ będzie obrazem punktu A w symetrii osiowej względem prostej OB, B₁ obrazem punktu B w symetrii osiowej względem prostej OA i O₁ obrazem punktu O w symetrii osiowej względem prostej AB. Wyznacz pole trójkąta O₁A₁B₁.
Zadanie 6
W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 6 cm i 8 cm wyznaczyć odległość pomiędzy środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt i środekiem okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zadanie 7
Środkiem sześciokąta foremnego jest punkt (0,0), a jednym z jego wierchołków jest punkt (0,6). Wyznacz pozostałe wierzchołki oraz pole i obwód tego szesciokąta.
Zadanie 8
Środkiem symetrii kwadratu jest punkt (0,0), a jednym z jego wierzchołków jest punkt (4,2). Wyznacz pozostałe wierzchołki tego kwadratu oraz jego pole i obwód.
Zadanie 9
Wyznacz pole i obwód ośmiokąta foremnego, na którym można opisać okrąg o promieniu 10 cm.
Zadanie 10
Wyznacz pole i obwód trójkąta prostokątnego jeśli wiadomo, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma 4 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma 10 cm.
Zadanie 11
Wyznacz odległość między środkami okręgu wpisanego i okręgu opisanego na trójkącie o bokach długości 10 cm, 10 cm i 16 cm.
Zadanie 12
Czy na płaszczyźnie z układem współrzędnych istnieje trójkat równoboczny, którego wszystkie wierzchołki maja współrzędne będące liczbami całkowitymi? Rozważ ten sam problem dla kwadratu i sześciokąta foremnego.
Zadanie 13
Oblicz odległość między środkami okręgu wpisanego i opisanego na trójkacie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 20 cm i 15 cm.
Zadanie 14
Uzasadnij, że w trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych jest równa sumie średnic okręgu wpisanego w ten trójkąt i okręgu opisanego na tym trójkącie.
Zadanie 15
W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym przy wierzchołku C poprowadzono wysokość CD. Niech r₁ będzie promieniem okręgu wpisanego w trójkąt ADC, r₂ - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt BDC, r - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt ABC, zaś h = \|CD\|. Udowodnij, że r₁ + r₂ + r = h.
Zadanie 16
Wyznacz pole trójkąta prostokątnego, jeśli wiadomo, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma 2 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma 5 cm.
Zadanie 17
Odcinek AB, gdzie A = (-1,1), B = (-3,3), przekształć w symetrii osiowej względem osi OY. Następnie oblicz pole figury ABB'A', gdzie A', B' są odpowiednio obrazami punktów A i b w tej symetrii.
Zadanie 18
Wyznacz kąty trójkąta prostokątnego ABC, jeśli \|BH\| - \|HA\| = \|AC\|, gdzie CH jest wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego C.
Zadanie 19
Czy dla każdej liczby pierwszej p równanie x^{2 - y₂ = p ma rozwiązanie w liczbach naturalnych?}
Zadanie 20
Dane są liczby naturalne m, n takie, że zapis dziesiętny liczby m² + mn + n² kończy się zerem. Udowodnij, że zapis ten kończy się dwoma zerami.
Zadanie 21
Wyznaczyć cyfrę jedności i resztę z dzielania przez 11 liczby 3²⁰⁰³ + 7²⁰⁰³.
Zadanie 22
Ile jest liczb jedenastocyfrowych podzielnych przez 9 i zapisanych jedynie przy pomocy cyfr 0 i 5.
Zadanie 23
Czy można do liczby 2003 dopisać z prawej strony trzy cyfry tak, aby otrzymana w ten sposób liczba siedmiocyfrowa dzieliła się przez 7, 8 i 9?
Zadanie 24
Spośród wierzchołków 25-kąta foremnego zaznaczono czerwonym kolorem 11 wierchołków. Czy wśród zaznaczonych wierzchołków istnieją trzy takie, które są wierzchołkami trójkąta równoramiennego?
Zadanie 25
W czworokącie ABCD kąty wewnętrzne przy wierzchołkach B i D są proste oraz \|AB\| = \|BC\|. Wyznacz pole tego czworokąta przyjmując, że odległość wierzchołka B od boku AD jest równa h.