|
LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU
ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2006/2007
Zadania niespodzianki
dla uczniów szkół podstawowych
na zakończenie konkursu 2006/7
|
| Zadanie 1 |
Czy można prostokąt o wymiarach 55×39 pociąć na prostokąty o wymiarach 5×11?
|
| Zadanie 2 |
Udowodnij, że jeśli w trójkącie miara każdego kąta jest większa od 59°, to jest ona jednocześnie mniejsza od 62°.
|
| Zadanie 3 |
Na płaszczyźnie danych jest 2007 punktów i okrąg o promieniu 1. Udowodnić, że na okręgu istnieje taki punkt, że suma jego odległości od danych punktów jest większa od 2007.
|
| Zadanie 4 |
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne, które są równe potrojonej sumie swoich cyfr.
|
| Zadanie 5 |
Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną podzielną przez 41, która przy dzieleniu przez 39 ma resztę 24.
|
| Zadanie 6 |
Zapis dziesiętny liczby trzycyfrowej zaczyna się cyfrą 7. Cyfrę tę przenosimy na koniec zapisu. Otrzymana liczba jest o 117 mniejsza od liczby wyjściowej. Od jakie liczby wystartowaliśmy?
|
| Zadanie 7 |
| Liczby 1, 2, 3, 4 należy wpisać w kratki, w każdą kratkę jedną liczbę, kwadratu 4×4 tak, aby w każdym wierszu i w każdej kolumnie i na każdej przekątnej występowały wszystkie liczby.
|
| Zadanie 8 |
Mamy 1001 jednakowo wyglądających monet. Wiadomo, że wśród nich jest tylko jedna fałszywa - ma inną wagę od pozostałych. Wyjaśnij przy pomocy dwóch ważeń na wadze szalkowej bez odważników czy moneta fałszywa jest cięższa czy lżejsza od pozostałych monet.
|
| Zadanie 9 |
Piotr, Zbyszek i Mirek mają łącznie 100 zadań z pewnego zestawu, przy czym każdy z nich rozwiązał 60 zadań. Zadanie uważamy za "trudne" jeżeli rozwiązał je tylko jeden z chłopców, natomiast zadanie uważamy za "łatwe "jeżeli rozwiązali je wszyscy chłopcy. Pozostałe rozwiązane zadania uważamy za "średnie". Uzasadnij, że zadań trudnych było o 20 więcej niż zadań łatwych.
|
| Zadanie 10 |
Wilk i konik grają w następującą grę. Na tablicy jeden z nich pisze liczbę naturalną dodatnią. W każdym następnym ruchu na zmianę kolejno jeden z nich ściera liczbę i wpisuje w to miejsce różnicę startej liczby i wybranej niezerowej "cyfry" zapisu dziesiętnego startej liczby. Wygrywa ten, który na tablicy wpisze liczbę 0. Kto może zapewnić sobie wygraną, jeśli zaczyna wilk od liczby 2007?
|
| Zadanie 11 |
Na okręgu mamy 10 punktów. Na zmianę każdy z dwóch chłopców łączy dwa punkty spośród danych odcinkiem. Który z chłopców może zapewnić sobie wygraną, jeśli nie wolno tych samych punktów łączyć ponownie, natomiast odcinki mogą się przecinać, mieć punkty wspólne. Przegrywa ten, który nie może poprowadzić odcinka. Który z chłopców ma strategię wygrywającą?
|
| Zadanie 12 |
Rozwiązać rebus (kryptoreklama): COLA + COLA = WODA.
|
| Zadanie 13 |
Za stołem mamy pewną liczbę chłopców i pięć dziewcząt. Na stole na talerzu mamy 30 bułek. Każda dziewczyna dała po jednej bułce znajomemu chłopcu, a każdy chłopiec dał po jednej bułce każdej nieznajomej dziewczynie. Wtedy wszystkie bułki zostały rozdane. Ilu chłopców było przy stole?
|
| Zadanie 14 |
Czy można dobrać cztery liczby całkowite tak, by suma dowolnych dwóch z nich była potęgą piątki o wykładniku naturalnym?
|
| Zadanie 15 |
Podaj przykład liczby ośmiocyfrowej o różnych cyfrach, w której po skreśleniu dowolnych dwóch cyfr zawsze otrzymamy liczbę złożoną.
|
| Zadanie 16 |
 Uzasadnij, że kwadratu o wymiarach 10×10 nie da się złożyć z figur w kształcie litery T składających się z czterech kwadracików jednostkowych.
|
| Zadanie 17 |
Ania, Jurek i Grzegorz kupowali jednakowe książki, zeszyty i ołówki.
Ania, za 2 książki, 4 zeszyty i 1 ołówek, zapłaciła 31,50 zł.
Jurek kupił 4 książki, 10 zeszytów i 1 ołówek za kwotę 42 zł.
Ile złotych zapłacił Grzegorz, który kupił 1 książkę, 1 zeszyt i 1 ołówek?
|
| Zadanie 18 |
Ile zer ma na końcu liczba będąca iloczynem wszystkich parzystych liczb:
- dwucyfrowych?
- pięciocyfrowych?
|
| Zadanie 19 |
Napisz wzór ogólny mianownika ułamka zwykłego nieskracalnego, który można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego skończonego.
|
| Zadanie 20 |
Określ wiek brata i wiek siostry, jeżeli 62,5% wieku brata wynosi o 2 lata więcej niż 75% wieku siostry, a 50% wieku brata wynosi o 7 lat więcej niż 37,5% wieku siostry.
| |
| Zadanie 22 |
Od liczby trzycyfrowej odjęto sumę jej cyfr. Z otrzymaną różnicą powtórzono tę operację, i tak dalej. Czynność tę powtórzono 100 razy. Udowodnić, że otrzymano 0.
|