LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2007/2008 Prezent wakacyjny dla uczniów gimnazjum

Zadanie 1

Rozwiąż algebraf: COLA + COLA = WODA

Zadanie 2

Odtworzyć działanie:

Zadanie 3

Ile razy w ciągu doby w zegarku ze wskazówkami wskazówki: godzinowa, minutowa i sekundowa pokrywają się (wszystkie!)?

Zadanie 4

Liczba sześciocyfrowa jest podzielna przez 8. Jaką największą sumę cyfr może ona mieć?

Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie rozwiązania w liczbach całkowitych równania 1999x2 - 2000y2 = 2001.

Zadanie 6

Ze zbioru liczb naturalnych od 1 do 1000 wybrano 860 liczb. Uzasadnić, że wśród wybranych liczb, można znaleźć dwie liczby, których iloczyn jest podzielny przez 21.

Zadanie 7

Czy istnieją takie dwie liczby całkowite różne od zera, że jedna z nich dzieli się przez ich różnicę, a druga z nich dzieli się przez ich sumę?

Zadanie 8

Liczby naturalne a, b spełniają równanie 34a = 43b. Pokazać, że liczba a + b jest złożona.

Zadanie 9

Uzasadnić, że liczba 45-cyfrowa, w zapisie której występuje jedna jedynka, dwie dwójki, trzy trójki, ..., dziewięć dziewiątek, nie może być kwadratem liczby naturalnej.

Zadanie 10

Liczba naturalna n jest taka, że liczba n2 + 1 jest liczbą dziesięciocyfrową. Uzasadnić, że w zapisie dziesiętnym liczby n2 + 1 występują co najmniej dwie jednakowe cyfry.

Zadanie 11

Czy można wybrać 5 liczb całkowitych tak, aby wszystkie możliwe sumy par tych liczb dały dziesięć kolejnych liczb całkowitych?

Zadanie 12

Na tablicy napisano liczbę 1. Co sekundę liczbę ścieramy i w jej miejsce wpisujemy sumę liczby i jej sumy cyfr. Czy pop pewnym czasie możemy uzyskać na tablicy liczbę 123456?

Zadanie 13

Podać przykład liczby dwudziestocyfrowej a, której suma cyfr jest równa 10, natomiast suma cyfr liczby 7a jest równa 70, zaś suma cyfr liczby 19a jest równa 19. Czy istnieje tylko jedna liczba o tej własności?

Zadanie 14

Na bokach AB i BC równoległoboku ABCD zbudowano trójkąty równoboczne ABM i  BCN. Uzasadnić, że trójkąt DMN jest równoboczny.

Zadanie 15

W trójkąt ABC wpisano okrąg styczny do boków trójkąta w punktach L, M, N. Uzasadnić, że trójkąt LMN jest ostrokątny.

Zadanie 16

W trójkącie ABC dwusieczna AD, wysokość BE i symetralna boku AB przecinają się w jednym punkcie. Znaleźć miarę kąta BAC.

Zadanie 17

BD jest dwusieczną kąta ABC w trójkącie ABC. Okrąg opisany na trójkącie BDC przecina bok AB w punkcie E, a okrąg opisany na trójkącie ABD przecina bok BC w punkcie F. Udowodnić, że |AE| = |CF|.

Zadanie 18

W wypukłym czworokącie ABCD kąty wewnętrzne przy wierzchołkach A i D są równe. Symetralne boków AB i CD przecinają się w punkcie P leżącym na boku AD. Udowodnić, że przekątne AC i BD są równej długości.

Zadanie 19

W wypukłym czworokącie ABCD przekątne AC i BD są równej długości. Pokazać, że prosta MN, gdzie M - środek boku BC, N - środek boku AD, tworzy równe kąty z przekątnymi.

Zadanie 20

W trójkącie ABC poprowadzono wysokość AH i CP. Wyznaczyć miarę kąta wewnętrznego trójkąta ABC przy wierzchołku B, jeśli |AC| = 2|PH|.

Zadanie 21

W trójkącie ABC odcinki AA1, BB1, CC1 są wysokościami tego trójkąta, a odcinki AA0, BB0, CC0 są środkowymi. Uzasadnić, że długość łamanej A0B1C0A1B0C1A0 jest równa obwodowi trójkąta ABC.

Zadanie 22

Wiadomo, że a + b + c = 5 i ab + ac + bc = 5. Ile może równać się a2 + b2 + c2?

Zadanie 23

Rozwiąż układ równań:

Rozwiązanie Filipa Solarczyka

Zadanie 24

Uzasadnić, że jeśli , to .

Zadanie 25

Uzasadnić, że jeśli i  , to .

Zadanie 26

Dwaj mędrcy napisali na siedmiu kartkach liczby od 5 do 11 po jednej na każdej kartce i na różnych kartkach różne liczby. Następnie włożyli je do urny. Pierwszy z nich wyciągnął trzy kartki, a następnie drugi wyciągnął dwie kartki. Pierwszy rzekł do drugiego: "Wiem, że suma liczb na Twoich kartkach jest parzysta." Ile wynosi suma liczb na kartkach pierwszego mędrca?

Życzymy udanych wakacji!
Zapraszamy do udziału w Lidze Zadaniowej
w roku szkolnym 2008/2009!