LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 1999/2000
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU IV
DLA GIMNAZJUM

ZADANIE 3

Uzasadnij, że dla dowolnych nieujemnych liczb a i b mamy:

a3+b3ł a2b+ab2

rozwiązanie

a3+b3ł a2b+b2a         /-a2b-b3

a3-a2bł b2a-b3

a2(a-b)ł b2(b-a)           /-b2(b-a)

a2(a-b)-b2(b-a)ł 0

(a-b)(a2-b2)ł 0

(a-b)(a-b)(a+b)ł 0

(a-b)2(a+b)ł 0

liczby nieujemne

 Liczba (a-b)2 musi być nieujemna, ponieważ dowolna liczba podniesiona do kwadratu daje liczbę nieujemną

Liczba (a-b)2 musi być nieujemna, ponieważ dowolna liczba podniesiona do kwadratu daje liczbe nieujemna.
Liczba (a+b) jest nieujemna bo liczby a i b sa nieujemne.
Ponieważ liczby (a-b)2 i a+b sa nieujemne to ich iloczyn jest też nieujemny.