LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2002/2003
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

Zadanie 6

Dany jest trójkąt ABC o polu równym 1.

Bok AB przedłużono wzdłuż prostej AB poza punkt B o długość boku AB i otrzymano punkt A1.
Podobnie bok BC przedłużono poza punkt C o długość boku BC i otrzymano punkt B1.
Tak samo postąpiono z bokiem AC i otrzymano punkt C1.
Oblicz pole trójkąta A1B1C1.

Rozwiązanie

Najpierw podzielmy trójkąt A1B1C1 na cztery inne trójkąty:
ABC, C1A1A, A1B1B i B1C1C.
Pole trójkąta ABC już znamy. Pozostaje więc obliczenie pól pozostałych trójkątów.
Skorzystajmy z prawa, które mówi,

  KAŻDE DWA TRÓJKĄTY
MAJĄCE PODSTAWY TEJ SAMEJ DŁUGOŚCI I WSPÓLNĄ WYSOKOŚĆ
MAJĄ TE SAME POLA.  

Trójkąt C1A1A
Jeżeli pole trójkąta ABC wynosi 1, to pole trójkąta BA1C też ma pole 1, bo |AB|=|BA1| i wysokość wychodząca z wierczhołka C jest wspólna dla obu trójkątów ABC i BA1C.  Pole trójkąta AA1C wynosi zatem 1+1=2.
Trójkąt C1A1A ma tą samą podstawę (AC) i wysokość co trójkąt AA1C, czyli jego pole również wynosi 2.






Trójkąt A1B1B
Jeżeli pole trójkąta ABC wynosi 1, to pole trójkąta ACB1 też ma pole 1. Pole trójkąta ABB1 wynosi zatem 1+1=2.
Trójkąt A1B1B ma tą samą podstawę (AB) i wysokość co trójkąt ABB1, czyli jego pole również wynosi 2.






Trójkąt CB1C1
Jeżeli pole trójkąta ABC wynosi 1, to pole trójkąta C1BA też ma pole 1. Pole trójkąta C1BC wynosi zatem 1+1=2.
Trójkąt CB1C1 ma tą samą podstawę (BC) i wysokość co trójkąt C1BC, czyli jego pole również wynosi 2.






Pole trójkąta A1B1C1 wynosi:
1 × PABC + 2  × PC1A1A + 2 × PA1B1B + 2 × PCB1C1 = 7




Odpowiedź

Pole trójkąta A1B1C1 wynosi 7. 

Michał Kęder