LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2005/2006
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 8

Na każdym boku kwadratu jako na średnicy budujemy półkola do wnętrza kwadratu. Części wspólne par narysowanych okręgów tworzą "rozetkę". Oblicz pole i obwód rozetki, jeśli długość boku kwadratu jest równa 10 cm.

Rozwiązanie

Sytuacja wynikająca z treści Treść zadania możemy przedstawić na rysunku w następujący sposób:
Promień jest równy 5 cmJeżeli średnica półkola wynosi 10 cm to jego promień jest równy 5 cm.
Przekątne w czworokącie ABCD przecinają się w punkcie SWierzchołki oznaczmy jak na rysunku. Dodatkowo narysujmy przekątne i ich punkt przecięcia oznaczmy przez S.

Prowadzimy odcinki od punktu S do środków boków kwadratu. Odcinki te mają długość promienia, czyli 5 cm.

Odcinki mają długość promienia, czyli 5 cm

Wprowadźmy oznaczenia dla środków boków kwadratu.
Pola trójkątów o brązowych bokach ( AHS, AES, BES, BFS, DFS, DGS, CGS, CHS ) są prostokątne, więc ich pole można wyliczyć z przyprostokątnych o długościach równych 5 cm.

Trójkąty mają równe pola

Pole każdego z trójkątów prostokątnych o przyprostokątnej długości 5 cm (cm2)

Pole wycinka koła, opartego na łuku BS jest równy ćwierci pola kola:

Pole każdego wycnka koła opartego na łuku równym długości łuku BS (cm2)
Zamalowana figura

Pole zamalowanej figury jest równe:

Pole zamalowanej figury(cm2)

Pole całej rozety wynosi:

Pole rozety(cm2)

Odpowiedź:Pole rozety jest równe cm2

Łuk BS będzie się równał ćwierci obwodu koła.

Długość każdego łuku równego długości łuku BS(cm)

Z rysunku wynika, że takich łuków jest 8, więc obwód rozety jest równy:

Długość obwodu rozety(cm)

Odpowiedź:Długość obwodu rozety wynosi cm

Bartosz Góra