LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 10

Czy można narysować:

  1. pięciokąt wypukły, w którym wszystkie kąty są rozwarte,
  2. pięciokąt wypukły, w którym wszystkie kąty są ostre,
  3. sześciokąt wypukły, w którym cztery kąty są ostre i dwa kąty rozwarte,
  4. sześciokąt wypukły, w którym cztery kąty są rozwarte i dwa kąty ostre.

Ważne!!

Wielokąt wypukły
jest to wielokąt, w którym wszystkie kąty wewnętrzne
mają mniej 180°.

Rozwiazanie
  1. Tak. Na przykład warunek ten spełnia pęciokąt foremny.
    Suma kątów wewnętrznych pięciokąta wynosi

    S5 =  (5-2) · 180° = 540°.

    W pięciokącie formenym wszystkie kąty są równe więc ich miara wynosi:

    540 : 5 = 108°


  2. Nie, ponieważ pięciokąt ma sumę kątów 540°, a gdyby wszystkie kąty były ostre to mielibyśmy:

     a1 <90°
    a2 <90°
    a3 <90°
    a4 <90°
    a5 <90°
    I po po dodaniu stronami: a1 + a2 + a3 + a4 + a5 < 450°

  3. Nie, ponieważ suma miar kątów wewnetrznych w pieciokącie wynosi

    S6 = (6-2) · 180° się równa 720°.

    Wobec tego, jeżeli są cztery kąty ostre to:

     a1 <90°
    a2 <90°
    a3 <90°
    a4 <90°

    to ich suma jest mniejsza od 360°. Wobec tego suma dwóch pozostałych kątów musi być większa niż 360°.

    a5 +   a6 > 360°.

    Ponieważ ten sześciokąt ma być wypukły więc kąty te muszą mieć miarę mniejszą niż 180°. Stąd ich suma nie może być większa niż 360°.
  4. TAK.

    Made by: Tomasz Grabiec