Zadanie 16

Czy istnieje na płaszczyźnie z układem współrzędnych trójkąt równoboczny, którego wszystkie wierzchołki mają współrzędne będące liczbami całkowitymi? Rozważ ten sam problem dla kwadratu i sześciokąta foremnego.

Rozwiązanie:

Przypuśćmy,że taki trójkąt istnieje:

Przyjmując oznaczenia jak na rysunku liczby b,c,d,e,f,g są liczbami całkowitymi.

Poszczególne współrzędne odpowiadają (b,c) = (0,6), (f,g) = (8,12), (d,e) = (8,0).

Możemy umieścić ten trójkąt w prostokącie:

Wszystkie odcinki tu zaznaczone mają długości wyrażone liczbami całkowitymi. Wobec tego pole całego prostokąta jest liczbą wymierną i pola narożnych trójkątów też są liczbami wymiernymi. Pole trójkąta równobocznego jest liczbą wymierną.

Policzymy pole według ustalonych współrzędnych:

Pole kwadratu - 8*12=96

Pola dwóch prostokątnych trójkątów - 2*(1/2(8*6))=2*24=48

Pole trójkąta równobocznego - 96-48=48

Czyli wszystko się zgadza.

Jednak z drugiej strony pole tego tójkąta

Czyli

Taki trójkąt nie istnieje.

Istnieje kwadrat, którego wierzchołkami są liczby całkowite ponieważ jest to figura o bokach jednakowej długości, a jeśli ustalimy za długość boku liczbę całkowitą i umieścimy 1 z wierzchołków w punkcie 0,0 w układzie współrzędnych to taka figura istnieje.

Nie istnieje sześciokąt foremny, którego wszystkie wierzchołki są liczbami całkowitymi, bo sześciokąt foremny składa się z trójkątów równobocznych i wierzchołki trójkątów stanowią wierzchołki sześciokąta. A skoro dla trójkąta to nie istnieje to dla sześciokąra foremnego też.

Odpowiedź:Taki trójkąt nie istnieje.

Joanna Karnowska