Zadanie 27

W czworokącie wypukłym ABCD przekątne AC i BD są równej długości. Punkty M i N są odpowiednio środkami boków AD i BC. Wykazać, że prosta MN tworzy równe kąty z przekątnymi AC i BD.

Rozwiązanie

Narysujmy dowolny czworokąt wypukły o przekątnych równej długości.

Narysujmy punkty i przekątne tak jak to podano w zadaniu i oznaczmy je.

Na bokach czworokąta obrałem punkty środkowe i połączyłem je odcinkami tak, że powstał czworokąt o wierzchołkach s1 , s2 , s3 , s4

M = s4

N = s2

Bok s3s4 jest równoległy do przekątnej AC a bok s1s2 do przekątnej BD , co uzasadniam poniżej:

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa :

Przekątne AC i BD są równej długości.

Bok s2s3 stanowi połowę długości przekątnej BD a bok s2s1 przekątnej AC.

Jeśli odcinki te są równej długości to trójkąt s1s2s3 jest równoramienny.

Jeśli trójkąty s1s2s3 i xyz mają podstawy osadzone na tej samej prostej i boki położone względem siebie równolegle to są podobne , więc kąty zielone i niebieskie mają równe miary

Jeśli kąty te mają równe miary to przecinają także prostą MN , na rysunku przedstawioną jako s2s4 pod równym kątem

Stasiu Rosa

Klasa 1a