LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU III
DLA KLAS II GIMNAZJUM

zadanie 11

W okrąg wpisano trójkąt ABC, w którym kąt CAB=55 stopni
i ABC=70 stopni. Przez punkt C poprowadzono styczną do okręgu. Styczna ta przecina przedłużenie boku AB w punkcie D.Oblicz miarę kąta ADC.

Rozwiązanie:

  1. .Obliczam miarę kąta ACB, czyli ACB = 180-(55+70)=55 stopni.
  2. .Łączę wierzchołki trójkąta ABC za środkiem okręgu O.
  3. .Obliczam kąt środkowy AOB oparty na łuku AB. Na tym samym łuku oparty jest kąt wpisany ACB, więc AOB=55*2=110 stopni.
  4. .Trójkąt AOB jest równoramienny, o ramionach równych promieniowi okręgu.
    Jego kąty wynoszą: 110 , 35 i 35 stopni, bo(180-110):2=35.
    Kąt OBD wynosi: 180-35=145 stopni.

  5. .Znamy już trzy kąty w czworokącie COBD:
    -kąt DCO wynosi 90, bo w punkcie C styczna jest prostopadła do promienia,
    -kąt COB ma 110 stopni, ponieważ jest to kąt środkowy, oparty na łuku BC, a kąt wpisany na tym samym łuku jest dwa razy mniejszy i wynosi 55 stopni.
  6. .Obliczam kąt ADC, czyli 360-(90+110+145)=360-345=15 stopni.
odpowiedź:

Miara kąta ADC wynosi 15 stopni.


Marcin Korman