LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA NIESPODZIANKI DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 11

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne, które są równe potrójnej sumie swoich cyfr.

Rozwiązanie

Szukam liczb dwucyfrowych.

Niech a będzie cyfrą dziesiątek, b - cyfrą jedności, więc 10a + b jest algebraiczną postacią liczby dwucyfrowej, a 3 (a + b) potrójną sumą cyfr.

Zatem zgodnie z warunkiem zadania można ułożyć równanie

3 (a + b) = 10a + b

3a + 3b = 10a + b / - b

3a + 2b = 10a / - 3a

2b = 7a

a = 2, b = 7

Otrzymałem więc liczbę 27. Udowodnię, że nie ma liczby trzycyfrowej spełniającej warunek zadania:

Niech a będzie cyfrą setek, b - cyfrą dziesiątek, c - cyfrą jedności, więc 100a + 10b + c algebraiczną postacią liczby trzycyfrowej, a 3(a + b +c) potrojoną sumą cyfr.

Zatem 3 (a + b + c) = 100a + 10b + c

3a + 3b + 3c = 100a 10b + c

2c = 7b + 97a

Otrzymana równość jest sprzeczna gdyż po lewej stronie mamy liczbę nie większą nić 18 a po prawej jest przynajmniej 97 (bo cyfra (liczba) liczba setek a nie jest zerem), więc nie znajdujemy liczby trzycyfrowej spełniającej warunek zadania.

Dla liczb większych będzie podobnie.

Odpowiedź: Jedyne liczby naturalne spełniające warunek zadania to liczby 0 i 27.

Michał Wodzyński