LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 3


Treść:

     Uzupełnij kwadrat magiczny:
  - 2n2 - 1 n2
  3n2  
     


Rozwiązanie:

Wiadomo, że w kwadracie magicznym suma w każdej kolumnie, w każdym rzędzie i w każdej przekątnej wynosi tyle samo.

Trzeba zapamiętać też, że:


Wartość środkowego pola kwadratu magicznego wynosi

 jedna trzecia sumy w jednym rzędzie, kolumnie, bądź w przekątnej.


Mając te wiadomości łatwo obliczyć, ile wynosi suma w rzędzie, kolumnie i w przekątnej:

3 x 3n2 = 9n2

Teraz najlepiej zająć się środkową kolumną i pierwszym od góry rzędem.

Obliczamy sumę :  (- 2n2 - 1) + n2, co wynosi: - n2 - 1.
Teraz od 9n2 odejmujemy naszą obliczoną sumę i różnica wynosi: 10n2 + 1.

Następnie obliczamy sumę - 2n2 + 3n2, co wynosi: n2 - 1.
Teraz od 9n2 odejmujemy obliczoną sumę i różnica wynosi: 8n2 + 1. Nasze obliczone wartości wpisujemy do odpowiednich pól w kwadracie:

10n2 + 1 - 2n2 - 1 n2
  3n2  
  8n2 + 1  


Teraz czas zająć się przekątnymi.

Przekątna wychodząca od prawego górnego rogu:
Dodajemy: n2 + 3n2, co daje 4n2
Teraz odejmujemy od 9n2 naszą obliczoną sumę, co nam daje: 5n2.

Przekątna wychodząca od lewego górnego rogu:
Dodajemy: (10n2 + 1) + 3n2, co daje 13n2 + 1.
Teraz odejmujemy od 9n2 obliczoną sumę, co wynosi: - 4n2 - 1. Nasze obliczone wartości wpisujemy do odpowiednich pól w kwadracie magicznym:

10n2 + 1 - 2n2 - 1 n2
  3n2  
5n2 8n2 + 1 - 4n2 - 1


Na koniec zostały nam środkowe pola w lewej i w prawej kolumnie. Zatem:

Lewa kolumna, środkowe pole:
Dodajemy (10n2 + 1) + 5n2, co wynosi: 15n2 + 1.
Teraz odejmujemy od 9n2 obliczoną sumę, co wynosi: - 6n2 - 1.

Prawa kolumna, środkowe pole:
Dodajemy: n2 + (- 4n2 - 1), co wynosi: - 3n2 - 1.
Następnie odejmujemy od 9n2 naszą obliczoną sumę, co wynosi: 12n2 + 1. Oczywiście, nasze obliczone wartości wpisujemy do odpowiednich pól w kwadracie:

10n2 + 1 - 2n2 - 1 n2
- 6n2 - 1 3n2 12n2 + 1
5n2 8n2 + 1 - 4n2 - 1


Uzupełniliśmy cały kwadrat!!!
Po sprawdzeniu we wszystkich kolumnach, wierszach i w przekątnych suma jest ta sama i wynosi: 9n2.


Stronę opracował Szymon Borkowski, uczeń klasy I "a"
Gimnazjum nr 11