LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU
SPOTKANIE INAUGURACYJNE
DLA UCZNIÓW KLAS II GIMNAZJUM
Zadanie 2
Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych p, q, r takie, że pq + qp = r.
Rozwiązanie:
1. Gdyby liczby p i q obie były nieparzyste, to liczba r byłaby większa od 6 i parzysta,
więc nie mogłaby być liczbą pierwszą.
2. Wynika stąd, że liczba p lub liczba q musi być liczbą parzystą.
3. Mamy tylko jedną liczbę parzystą pierwszą. Jest to 2. Więc p lub q musi być równe 2.
4. Nie zmniejszając ogólności możemy założyć, że p jest równe 2. Wobec tego równanie przyjmuje teraz postać 2q+q2=r.
5. Jeśli q będzie równe 3, to równanie przybiera postać 23+32=r. Zatem r musi być równe 17.
6. Trójka liczb p=2, q=3 i r=17 spełnia warunki zadania.
7. Jeśli liczba q nie będzie równa 3 to będzie wówczas liczbą nieparzystą, niepodzielną przez 3.
8. Zauważmy, że każda nieparzysta potęga liczby 2 daje resztę 1 z dzielenia przez 3, więc 2q daje resztę 1 z dzielenia przez 3.
9. Zauważmy dalej, ze kwadrat liczby nie podzielnej przez 3 daje zawsze resztę 1 z dzielenia przez 3, bo:
a) jeśli q=3n+1, to q2=(3n+1)2
b) jeśli q=3n+2 to q2=(3n+2)2
10. Ostatecznie jeśli q nie jest równe 3, to 2q+q2 daje sumę reszt 1+2
z dzielenia przez 3, czyli dzieli się przez 3. Wobec tego liczba rbędąca suma tych liczb dzieli sie przez 3 stąd nie jest liczbą pierwszą.
Odp. Jedynymi rozwiązaniami tego zadania są następujące dwie trójki liczb:
p=2, q=3 i r=17
p=3, q=2 i r=17
Olga Rybicka