LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2007/2008
ZADANIA KONKURSOWE ETAPU II
DLA KLAS VI SZKOŁY PODSTAWOWEJ
Zadanie 2
Smok ma 2007 głów. Rycerz może ściąć jednym cięciem 33 głowy lub 21 głów lub 17 głów lub 1 głowę. Smokowi odrasta odpowiednio 48, 0, 14 i 349 głów jednocześnie, tzn. jeśli rycerz zetnie 33 głowy to smokowi odrośnie 48 głów itd. Smok zostanie zabity jeśli wszystkie głowy zostaną ścięte. Czy rycerz może zabić smoka? Odpowiedź uzasadnij.
Rozwiązanie:
Kiedy rycerz odcina 33, 21, 17, 1 głowy to smokowi odrasta jednocześnie 48, 0, 14, 349 głów, czyli
- -33 + 48 = 15, tzn. po jednoczesnym ścięciu 33 głów liczba głów zwiększa się o 15.
- -21 + 0 = -21, tzn. po jednoczesnym ścięciu 21 głów liczba głów zmniejsza się o 21.
- -17 + 14 = -3, tzn. po jednoczesnym ścięciu 17 głów liczba głów zmniejsza się o 3.
- -1 + 349 = 348, tzn. po jednoczesnym ścięciu 1 głowy liczba głów zwiększa się o 348.
Przy odcięciu 21 głów nie odrasta smokowi żadna głowa.
2007 = 21*95 + 12 = 21*95 + 4*3 = 21*95 + 4* (-17 + 14),
więc jeśli rycerz zetnie4 razy 17 głów to liczba głów zmniejszy się o 12 i liczba głów, która zostanie do ścięcia będzie równa 95*21. Wystarczy więc 21 razy ściąć 21 głów.
Stąd wniosek, że rycerz musi obciąć 4 razy po 17 głów, a potem 95 razy po 21 głów, wówczas smok straci wszystkie głowy i umrze.
Odp: Tak.
Aleksander Wojnowski