LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2006/2007

Zadania przygotowawcze do etapu I-go dla uczniów klas II gimnazjum

Tematyka: 1. Działania na potęgach i pierwiastkach. 2. Liczby rzeczywiste i działania na nich.

Zadanie 1

Która z liczb jest większa: czy  ?

Zadanie 2

Oblicz:   , , , , , .

2a: Rozwiązanie Magdy Barańskiej

2b: Rozwiązanie Pawła Sołtysińskiego

2c: Rozwiązanie Joasi Sucheckiej

2e: Rozwiązanie Marcina Swół

2e: Rozwiązanie Dagmary Wawrzyniak

2f: Rozwiązanie Zbyszko Wińskiego

Zadanie 3

Ustaw w porządku rosnącym liczby: 21600, 31000, 5600, 8500, 9450, 16360.

Rozwiązanie Pawła Byczkowskiego

Zadanie 4

Dana jest liczba całkowita a. Uzasadnij, że co najmniej jedna z liczb a3 - a lub a3 + a jest podzielna przez 10.

Rozwiązanie Przemka Dąbrowskiego

Zadanie 5

Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne takie, aby dla każdej z nich suma cyfr była podzielna przez 26? Jeśli istnieją takie liczby, to wskaż taka liczbę i uzasadnij, że mają one żądane własności.

Zadanie 6

Opisz zapis dziesiętny liczby a×b (z jakich i z ilu cyfr się składa oraz w jakiej kolejności), jeśli zapis dziesiętny liczby a składa się tylko ze 100 szóstek, a zapis dziesiętny liczby b składa się ze 100 dwójek.

Rozwiązanie Izy Grzebieniak

Zadanie 7

Uzasadnić, że  5n + 5n+1 + 5n+2  jest liczbą podzielną przez 155 dla każdej liczby całkowitej dodatniej n.

Rozwiązanie Lidki Gużyńskiej

Zadanie 8

Wyznacz wszystkie liczby naturalne siedmiocyfrowe podzielne przez 3 i przez 4, w zapisie których występują tylko cyfry 2 i 3, przy czym dwójek jest więcej niż trójek.

Rozwiązanie Karoliny Gwizdały

Zadanie 9

Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych takie, że iloczyn każdych dwóch z nich przy dzieleniu przez trzecią daje resztę 1.

Rozwiązanie Filipa Idzikowskiego

Zadanie 10

Dziadek i babcia mają razem 140 lat. Po ile lat ma każde z nich, jeżeli dziadek ma dwa razy tyle lat ile babcia miała wtedy, gdy dziadek miał tyle lat, ile lat babcia ma teraz?

Rozwiązanie Olivii Klepackiej

Zadanie 11

Podaj przykład trzech liczb wymiernych, których zarówno suma jak i suma ich odwrotności są liczbami całkowitymi.

Rozwiązanie Marcina Kormana

Zadanie 12

Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze trzycyfrowe o różnych cyfrach, w których cyfra jedności jest równa sumie cyfr dziesiątek i setek.

Rozwiązanie Jędrka Kośnikowskiego

Zadanie 13

Wyznaczyć  liczby pierwsze p, dla których liczba 2p + 1 jest podzielna przez 9.

Rozwiązanie Bartka Majewskiego

Zadanie 14

Wyznacz wartości sum: dla a = 2006.

14a: Rozwiązanie Rozalii Makowskiej

14c: Rozwiązanie Karola Romanowskiego

14d: Rozwiązanie Tomka Różyńskiego

Zadanie 15

Czy zachodzą równości?

15a Rozwiązanie Mikołaja Niedzieli

15b Rozwiązanie Mateusza Rzeszotka

Zadanie 16

Od liczby trzycyfrowej odjęto sumę jej cyfr. Z otrzymaną różnicą powtórzono tę operację, i tak dalej. Czynność tę powtórzono 100 razy. Udowodnić, że otrzymano 0.

Uwaga. W przygotowaniach do 1 spotkania konkursowego można wykorzystać zbiór zadań "Liga Zadaniowa" - strony 25, 26, 32, 33 oraz 9-19.