Zadanie 1
Długości boków trójkąta są równe 12 cm, 16 cm i 20 cm.
Wyznacz najkrótszą wysokość tego trójkąta oraz środkową poprowadzoną do boku o długości 16 cm.
Zadanie 2
Liczbę naturalną nazwiemy dobrą jeśli w jej zapisie dziesiętnym żadna cyfra się nie powtarza
oraz iloczyn jej cyfr jest równy 360. Podaj dwie takie liczby oraz wyznacz największą liczbę o tej własności.
Zadanie 3
W kwadracie o boku długości 10 cm (patrz rysunek) można zauważyć okrąg wpisany
w ten kwadrat oraz ćwiartki czterech okręgów o promieniu 5 cm i środkach w wierzchołkach tego kwadratu.
Oblicz pole i obwód zakreskowanej figury.
Zadanie 4
Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie
$\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\right) \cdot \left(\frac{a+b}{2a}-\frac{b}{a+b}\right) : \left(\left(a+2b+\frac{b^2}{a}\right) \cdot \left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a-b}\right)\right)$
a następnie oblicz jego wartość dla $a = 0,75 \text{ i } b = \frac{4}{3}.$
$\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\right) \cdot \left(\frac{a+b}{2a}-\frac{b}{a+b}\right) : \left(\left(a+2b+\frac{b^2}{a}\right) \cdot \left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a-b}\right)\right)$
a następnie oblicz jego wartość dla $a = 0,75 \text{ i } b = \frac{4}{3}.$
Zadanie 5
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 20 cm i 15 cm.
Na krótszej przyprostokątnej jako na średnicy zbudowano okrąg.
Oblicz długości odcinków, na które okrąg ten podzielił przeciwprostokątną.
Zadanie 6
Niech $p$ będzie liczbą pierwszą większą od 5. Uzasadnij, że liczba $p^4-1$ jest podzielna przez 240.
Uwaga: Wszystkie rozwiązania i odpowiedzi powinny być uzasadnione.