LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2001/2002

Zadania konkursowe w etapie IV dla uczniów klas II gimnazjum
Zadanie 1
Obliczyć:



Rozwiązanie Mariusza Banacha
Zadanie 2
Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie x2 + 2002 = y2.

Zadanie 3
W trapezie ABCD, w którym boki AB i CD są podstawami, suma kątów przy wierzchołkach A i B jest równa 90°. Niech |MN|=d, gdzie M i N są odpowiednio środkami podstaw AB i CD. Wyznaczyć długość odcinka łączącego środki przekątnych.

Zadanie 4
Wysokość trapezu jest równa 4 cm, a jego przekątne są wzajemnie prostopadłe. Wyznaczyć pole trapezu, jeżeli jedna z przekątnych ma długość 5 cm.

Zadanie 5
W kwadracie ABCD o boku długości 5 cm obrano na bokach AB i BC odpowiednio punkty E i F tak, że |EB|=|FC|=1 cm. Niech G będzie punktem przecięcia odcinków AF i DE. Wyznaczyć kąt EGF.

Zadanie 6
W trójkącie poprowadzono środkową AM i dwusieczną BN. Wyznaczyć pole trójkąta ABC, jeśli środkowa i dwusieczna są wzajemnie prostopadłe oraz |AM|=a i |BN|=b.

Zadanie 7
W wycinek kołowy oparty na kącie środkowym o mierze 60° wpisano koło, którego pole jest równe 9. Wyznaczyć pole wycinka kołowego.

Zadanie 8
W czworokącie wypukłym ABCD odcinki łączące środki przeciwległych boków są tej samej długości. Wyznaczyć pole czworokąta ABCD, jeśli |AC| = 2 i |BD| = 1.

Zadanie 9
Dany jest kąt oraz dwa punkty B i C leżące na różnych ramionach tego kąta. Wyznaczyć konstrukcyjnie punkt M leżący wewnątrz tego kąta tak aby był on równo oddalony od ramion tego kąta oraz aby |MB| = |MC|.

Zadanie 10
Suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi 14. jeśli do tej liczby dodamy 46, to otrzymamy liczbę, w której iloczyn cyfr wynosi 6. Wyznacz wszystkie takie liczby.

Zadanie 11
Rozwiązać w liczbach pierwszych równanie p2 - 6q2 = 1.

Zadanie 12
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne n, dla których n2 + 1 jest podzielne przez n + 1.

Zadanie 13
Rozważmy dwa ciągi liczb: (1911, 1918, 1925, 1932, 1939, ...) oraz (1912, 1921, 1930, 1939, ...). W obydwu ciągach występuje liczba 1939. Znaleźć kolejną liczbę o tej własności.

Zadanie 14
Obliczyć wartość wyrażenia , jeśli .

Zadanie 15
Oblicz wartość wyrażenia a3 + b3 + c3, jeśli a + b + c = 0 i abc=1.

Zadanie 16
Obliczyć , jesli abc = 1.

Zadanie 17
Czy istnieje dziesięć kolejnych liczb naturalnych, by suma cyfr pierwszej z nich była równa 2000, suma cyfr drugiej liczby była równa 2001, zaś trzeciej suma cyfr wynosiła 2002, itd., tzn. suma cyfr dziesiątej liczby była równa 2009?

Zadanie 18
W kwadracie ABCD o boku długości 1 punkty K, L , M są odpowiednio środkami boków AB, BC, CD. Wyznaczyć pole zakreskowanej figury.