Zadanie 1
Oblicz:
- $\sqrt{5+\sqrt{24}}+\sqrt{5-\sqrt{24}},$
- $\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{17-12\sqrt{2}}}+ \sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{17+12\sqrt{2}}}.$
- $\frac{1}{3+\sqrt{8}}+\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+2},$
- $\frac{\left(2^2-\frac{1}{4}\right)\cdot \left(4^2-\frac{1}{4}\right)\left(6^2-\frac{1}{4}\right)\cdot \text{...} \cdot\left(2002^2-\frac{1}{4}\right)} {\left(1^2-\frac{1}{4}\right)\cdot \left(3^2-\frac{1}{4}\right)\left(5^2-\frac{1}{4}\right)\cdot \text{...} \cdot\left(2001^2-\frac{1}{4}\right)} $
Zadanie 2
Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie $x^2 + 2001 = y^2.$
Zadanie 3
W trapezie $ABCD$, w którym boki $AB$ i $CD$ są podstawami,
suma kątów przy wierzchołkach $A\text{ i }B$ jest równa $90^{\circ}.$
Niech $|MN|=d$, gdzie $M \text{ i }N$ są odpowiednio środkami podstaw $AB\text{ i }CD.$
Wyznaczyć długość odcinka łączącego środki przekątnych.
Zadanie 4
Wysokość trapezu jest równa 4 cm, a jego przekątne są wzajemnie prostopadłe.
Wyznaczyć pole trapezu, jeżeli jedna z przekątnych ma długość 5 cm.
Zadanie 5
W kwadracie $ABCD$ o boku długości 5 cm obrano na bokach $AB \text{ i } BC$ odpowiednio punkty $E \text{ i } F$ tak,
że $|EB|=|FC|=1\text{ cm}.$ Niech $G$ będzie punktem przecięcia odcinków $AF \text{ i } DE.$ Wyznaczyć kąt $EGF.$
Zadanie 6
W trójkącie poprowadzono środkową $AM$ i dwusieczną $BN.$
Wyznaczyć pole trójkąta $ABC$, jeśli środkowa i dwusieczne są wzajemnie prostopadłe oraz $|AM|=a \text{ i } |BN|=b.$
Zadanie 7
W wycinek kołowy oparty na kącie środkowym o mierze $60^{\circ}$ wpisano koło,
którego pole jest równe 9. Wyznaczyć pole wycinka kołowego.
Zadanie 8
W czworokącie wypukłym $ABCD$ odcinki łączące środki przeciwległych boków są tej samej długości.
Wyznaczyć pole czworokąta $ABCD$, jeśli $|AC| = 2 \text{ i } |BD| = 1.$
Zadanie 9
Dany jest kąt oraz dwa punkty $B \text{ i }C$ leżące na różnych ramionach tego kąta.
Wyznaczyć konstrukcyjnie punkt $M$ leżący wewnątrz tego kąta
tak aby był on równo oddalony od jego ramionach $\text{oraz aby }|MB| = |MC|.$
Zadanie 10
Suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi 14.
Jeśli do tej liczby dodamy 46, to otrzymamy liczbę,
w której iloczyn cyfr wynosi 6. Wyznacz wszystkie takie liczby.
Zadanie 11
Rozwiązać w liczbach pierwszych równanie $p^2 - 6q^2 = 1.$
Zadanie 12
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n$, dla których $n^2 + 1$ jest podzielne $\text{przez }n + 1.$
Zadanie 13
Rozważmy dwa ciągi liczb: $(1911, 1918, 1925, 1932, 1939, ...)$ $\text{oraz }(1912, 1921, 1930, 1939, ...).$ W obydwu ciągach występuje liczba 1939. Znaleźć kolejną liczbę o tej własności.
Zadanie 14
Obliczyć wartość wyrażenia $x^3+\frac{1}{x^3}$, jeśli $x+\frac{1}{x}=3.$
Zadanie 15
Obliczyć wartość wyrażenia $a^3+b^3+c^3$, jeśli $a+b+c=0 \text{ i }abc=1.$
Zadanie 16
Obliczyć $\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ca}$, jeśli $abc=1.$
Zadanie 17
Czy istnieje 10 kolejnych liczb naturalnych takich,
by suma cyfr w pierwszej z nich była równa 2000,
suma cyfr drugiej liczby była równa 2001,
zaś w trzeciej suma cyfr wynosiła 2002 itd.,
tzn. suma cyfr dziesiątej liczby była równa 2009?
Zadanie 18
W kwadracie $ABCD$ o boku długości 1
punkty $K$, $L$ , $M$ są odpowiednio środkami boków $AB$, $BC$, $CD.$
Wyznaczyć pole zakreskowanej figury.
