Zadania przygotowawcze
do etapu III-go dla uczniów klas II gimnazjum

Wyznaczyć stosunek pól kwadratu i ośmiokąta foremnego, wpisanych w okrąg o promieniu 6 cm.

W rombie $ABCD$ dane są wierzchołki $A=(-1; 3)\text{ i } C=(-1, 5).$ Wyznaczyć współrzędne wierzchołków $B\text{ i } D$ wiedząc, że pole tego rombu jest równe 24.

Czy zbiór punktów $\{(1,1), (5,1), (1,5)\}$ ma osie symetrii?
Jeśli tak, to wyznacz równania wszystkich osi symetrii tego zbioru. Czy powyższy zbiór ma środki symetrii? Wyznacz współrzędne wszystkich środków symetrii tego zbioru, o ile istnieją.

Wierzchołkami czworokąta $ABCD$ są punkty $A = (-4, 0),$ $B = (6, 0),$ $C = (2, 3)$ $\text{i } D = (-4, 3).$ Niech $A_1B_1C_1D_1$ będzie obrazem czworokąta $ABCD$ w symetrii osiowej względem osi $OY.$ Wyznacz pole i obwód części wspólnej czworokątów $ABCD \text{ i } A_1B_1C_1D_1$

Dany jest trójkąt OAB, gdzie $A = (4, 0),$ $B = (0, 4),$ $O = (0, 0).$ Niech $A_1$ będzie obrazem punktu $A$ w symetrii osiowej względem prostej $OB,$ $B_1$ obrazem punktu $B$ w symetrii osiowej względem prostej $OA$ $\text{i }O_1 \text{ obrazem}$ punktu $O$ w symetrii osiowej względem prostej $AB.$ Wyznacz pole trójkąta $O_1A_1B_1.$

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości 6 cm i 8 cm wyznaczyć odległość pomiędzy środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt i środekiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Środkiem sześciokąta foremnego jest punkt (0,0), a jednym z jego wierchołków jest punkt (0,6). Wyznacz pozostałe wierzchołki oraz pole i obwód tego sześciokąta.

Środkiem symetrii kwadratu jest punkt $(0,0),$ a jednym z jego wierzchołków jest punkt $(4,2).$ Wyznacz pozostałe wierzchołki tego kwadratu oraz jego pole i obwód.

Wyznacz pole i obwód ośmiokąta foremnego, na którym można opisać okrąg o promieniu 10 cm.

Wyznacz pole i obwód trójkąta prostokątnego jeśli wiadomo, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma 4 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma 10 cm.

Wyznacz odległość między środkami okręgu wpisanego i okręgu opisanego na trójkącie o bokach długości 10 cm, 10 cm i 16 cm.

Czy na płaszczyźnie z układem współrzędnych istnieje trójkat równoboczny, którego wszystkie wierzchołki mają współrzędne będące liczbami całkowitymi? Rozważ ten sam problem dla kwadratu i sześciokąta foremnego.

Oblicz odległość między środkami okręgu wpisanego i opisanego na trójkacie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 20 cm i 15 cm.

Zadanie 14

W trójkącie prostokątnym $ABC$ o kącie prostym przy wierzchołku $C$ poprowadzono wysokość $CD.$ Niech $r_1$ będzie promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $ADC,$ $r_2$ - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $BDC,$ $r$ - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt $ABC,$ $\text {zaś }h = |CD|.$ Udowodnij, że $r_1 + r_2 + r = h.$

Wyznacz pole trójkąta prostokątnego, jeśli wiadomo, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma 2 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma 5 cm.

Odcinek $AB,$ gdzie $A = (-1,1),\; B = (-3,3),$ przekształć w symetrii osiowej względem osi $OY.$ Następnie oblicz pole figury $ABB'A',$ $\text{gdzie }A',\; B$ są odpowiednio obrazami punktów $A\text{ i }B$ w tej symetrii.

Wyznacz kąty trójkąta prostokątnego $ABC,$ jeśli $|BH| - |HA| = |AC|,$ gdzie odcinek $CH$ jest wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego $C.$

Czy dla każdej liczby pierwszej $p$ równanie $x^2 - y^2 = p$ ma rozwiązanie w liczbach naturalnych?

Dane są liczby naturalne $m,\; n$ takie, że zapis dziesiętny liczby $m^2 + mn + n^2$ kończy się zerem. Udowodnij, że zapis ten kończy się dwoma zerami.

Wyznaczyć cyfrę jedności i resztę z dzielania przez 11 liczby $3^{2003} + 7^{2003}.$

Ile jest liczb jedenastocyfrowych podzielnych przez 9 i zapisanych jedynie przy pomocy cyfr 0 i 5?

Czy można do liczby 2003 dopisać z prawej strony trzy cyfry tak, aby otrzymana w ten sposób liczba siedmiocyfrowa dzieliła się przez 7,  8 i 9?.

Spośród wierzchołków 25-kąta foremnego zaznaczono czerwonym kolorem 11 wierzchołków. Czy wśród zaznaczonych wierzchołków istnieją trzy takie, które są wierzchołkami trójkąta równoramiennego?

W czworokącie $ABCD$ kąty wewnętrzne przy wierzchołkach $B\text{ i } D$ są proste oraz $|AB| = |BC|.$ Wyznacz pole tego czworokąta przyjmując, że odległość wierzchołka $B$ od prostej $AD$ $\text{jest równa }h.$