Zadanie 1
W kwadracie $ABCD$ poprowadzono dwa okręgi o środkach w wierzchołkach $A\text{ i }B$ i promieniu równym bokowi kwadratu.
Okręgi te podzieliły kwadrat na cztery obszary. Oblicz pola i obwody tych obszarów,
jeśli długość boku kwadratu jest równa 5 cm.
Zadanie 2
Długości boków trójkąta są kolejnymi liczbami naturalnymi, przy czym najkrótszy z nich ma długość co najmniej 4 cm. Wysokość opuszczona na średni z boków podzieliła ten bok na dwa dcinki. Wyznacz różnicę długości tych odcinków.
Zadanie 3
W trapezie dane są długości podstaw 10 cm i 30 cm oraz długości przekątnych: 24 cm i 32 cm. Oblicz pole tego trapezu jeżeli jego przekątne przecinają się pod kątem prostym.
Zadanie 4
Przekształć następujące wyrażenie
$$\frac{2b+a-\frac{4a^2-b^2}{a}}{(b-a)(b^2+3ab)}:\frac{a^2-b^2}{a^3b-2a^2b^2+ab^3}$$
do postaci możliwie najprostszej.
Oblicz wartość tego wyrażenia dla $a = -0,01$ $\text{i } b = 0,13.$
Zadanie 5
Uzasadnij, że jeśli $p$ jest liczbą pierwszą większą od 5, to liczba $p^4 - 1$ jest podzielna przez 240.
Zadanie 6
Brzeg trójkąta równobocznego o boku długości 10 cm "otoczono" zbiorem wszystkich punktów, które są odległe od co najmniej jednego z boków niewięcej niż o 1 cm. Oblicz pole tego zbioru oraz długość jego brzegu.
Uwagi.
- Wszystkie odpowiedzi do zadań powinny być uzasadnione.
- Czas trwania konkursu: 90 minut.
- Nie można używać kalkulatorów.