Zadanie 1
Oblicz $\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\cdot \left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdot \text{...} \cdot \left(1-\frac{1}{2004^2}\right).$
Zadanie 2
W kwadracie, na rysunku obok, można zauważyć okrąg wpisany w ten kwadrat oraz ćwiartki czterech okręgów o promieniu 4 cm i środkach w wierzchołkach tego kwadratu. Oblicz pole i obwód zamalowanej figury.
Zadanie 3
Na każdym boku kwadratu jako na średnicy budujemy półkola do wnętrza kwadratu. Części wspólne par narysowanych okręgów tworzą "rozetkę". Oblicz pole i obwód rozetki, jeśli długość boku kwadratu jest równa 10 cm.
Zadanie 4
Rozstrzygnąć, czy $2^{14} + 5^8$ jest liczbą złożoną.
Zadanie 5
Doprowadź do najprostszej postaci następujące wyrażenie:
$$ \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\right)\cdot \left(\frac{a+b}{2a}-\frac{b}{a+b}\right) : \left(\left(a+2b+\frac{b^2}{a}\right)\cdot \left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a-b}\right)\right).$$
Zadanie 6
Zbiór liczb naturalnych $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ dzielimy na dwa niepuste i rozłączne podzbiory tak, by iloczyn elementów pierwszego podzbiory był podzielny przez iloczyn elementów drugiego podzbioru (na przykład, $I = \{1, 3, 4, 5, 7, 8, 9\}, II = \{2, 6, 10\}$). Dla każdego podziału obliczamy iloraz tych iloczynów. Jaką najmniejszą wartość może mieć taki iloraz?
Uwagi.
- Wszystkie odpowiedzi do zadań powinny być uzasadnione.
- Czas trwania konkursu: 90 minut.
- Nie można używać kalkulatorów.