LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2005/2006

Zadania konkursowe z etapu II-go
dla uczniów klas I gimnazjum
Zadanie 1
Oblicz pole pięciokąta ABCDE, mając dane współrzędne punktów:

A = (-2; 0), B = (-2; 3), C = (4; 4), D = (3; -1), E = (0; -4).

Zadanie 2
Punkty A = (-3,-2) i B = (-3,4) są wierzchołkami trójkąta ABC, którego pole jest równe 16. Znajdź współrzędne punktu C wiedząc, że:
  1. trójkąt ABC jest równoramienny i odcinek AB jest jego podstawą,
  2. trójkąt ABC jest prostokątny,
  3. druga współrzędna punktu C jest równa -3.
Uwaga: Każdy z podpunktów traktujemy jako osobne zadanie.
Zadanie 3
Uzupełnij kwadrat magiczny:

7x - 34 -x + 15 22 - 3x
  x + 1  
     

Zadanie 4
Oblicz miary kątów pięciokąta, wiedząc, że przekątne wychodzące z pewnego jego wierzchołka dzielą go na dwa trójkąty równoboczne i jeden trójkąt prostokątny równoramienny.
Wskazówka: Rozważ wszystkie możliwości.

Zadanie 5
Pewna liczba ma dokładnie 4 dzielniki, i średnia arytmetyczna tych dzielników wynosi 10. Znajdź tę liczbę.

Zadanie 6
Dwa okręgi przecinają się w dwóch punktach. Z jednego z tych punktów poprowadzono średnice każdego z tych okręgów. Następnie połączono drugie końce tych średnic. Wykaż, że odcinek ten przechodzi przez drugi punkt przecięcia okręgów.

Uwaga: Wszystkie odpowiedzi do zadań powinny być uzasadnione.