Zadanie 1
Która z liczb jest większa: $\sqrt{\frac{2004}{2005}}$ czy $\sqrt{\frac{2005}{2006}}?$
Zadanie 2
Oblicz $5\cdot \sqrt[3]{6\cdot \sqrt{32}}-3\cdot \sqrt[3]{9\cdot \sqrt{162}}-11\sqrt[6]{18}+2\cdot \sqrt[3]{75\cdot \sqrt{50}}.$
Zadanie 3
Ustaw w porządku rosnącym liczby: $2^{1600}, 3^{1000}, 5^{600}, 8^{500}, 16^{360}.$
Zadanie 4
Dana jest liczba całkowita $a.$ Uzasadnij, że co najmniej jedna z liczb $a^3 - a$ lub $a^3 + a$ jest podzielna przez 10.
Zadanie 5
Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne takie, że suma cyfr każdej z nich jest podzielna przez 26? Jeśli istnieją takie liczby, to wskaż takie liczby i uzasadnij, że mają one żądane własności.
Zadanie 6
Opisz zapis dziesiętny liczby $a\cdot b$ (z jakich i z ilu cyfr się składa oraz w jakiej kolejności),
jeśli zapis dziesiętny liczby $a$ składa się tylko ze 100 szóstek, a zapis dziesiętny liczby $b$ składa się ze 100 dwójek.
Uwagi.
- Wszystkie odpowiedzi do zadań powinny być uzasadnione.
- Czas trwania konkursu: 90 minut.
- Nie można używać kalkulatorów.