Zadanie 1
Długość boku kwadratu $ABCD$ jest równa 6 cm. Oblicz pole i długość obwodu części wspólnej kół ośrodkach w punktach $B \text{ i } D$ i o promieniu 6 cm.
Zadanie 2
Czy liczba $2^{14} + 7^{20}$ jest liczbą pierwszą?
Zadanie 3
Doprowadź wyrażenie algebraiczne
$\left[\left(a+\frac{ab}{a-b}\right)\cdot \left(\frac{ab}{a+b}-a\right)\right]:\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$
do najprostszej postaci, a następnie oblicz jego wartość dla $a = -\frac{4}{5} \text{ i } b = 0,6.$
$\left[\left(a+\frac{ab}{a-b}\right)\cdot \left(\frac{ab}{a+b}-a\right)\right]:\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$
do najprostszej postaci, a następnie oblicz jego wartość dla $a = -\frac{4}{5} \text{ i } b = 0,6.$
Zadanie 4
Która z zaznaczonych na rysunku figur, $F_1\text{ czy }F_2$, ma większe pole, jeśli trójkąt $ABC$
jest prostokątny i równoramienny, a łuki $AC\text{ i }AB$ są półokręgami zaś łuk $BC$
jest ćwiartką okręgu o środku $A?$
Zadanie 5
Pewna liczba naturalna ma 4 dzielniki, których średnia arytmetyczna jest równa 10. Znajdź wszystkie takie liczby.
Zadanie 6
Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich rzeczywistych liczb $a$, $b$ zachodzi następująca nierówność:
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}.$$
Kiedy zachodzi równość?
Kiedy zachodzi równość?
Uwagi.
- Wszystkie odpowiedzi do zadań powinny być uzasadnione.
- Czas trwania konkursu: 90 minut.
- Nie można używać kalkulatorów.