LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2005/2006 Prezent wakacyjny dla uczniów gimnazjum

Zadanie 1

Wyznaczyć cyfrę jedności liczby 12 + 22 + 32 + ... +992.

Zadanie 2

Czy istnieje liczba naturalna, której iloczyn cyfr jest równy 2006?

Zadanie 3

Utworzyć taką dziesięciocyfrową liczbę, wykorzystując cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 aby, patrząc od lewej strony, liczba utworzona z dwóch pierwszych cyfr, była podzielna przez 2, następnie liczba utworzona z trzech pierwszych cyfr była podzielna przez 3, i tak dalej, i na koniec aby cała liczba była podzielna przez 10.

Zadanie 4

W każdą kratkę kwadratu o wymiarach 3×3 wpisujemy liczbę. Kwadrat nazywa się magiczny, jeśli sumy liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i na każdej przekątnej są takie same. Pokazać, że w kwadracie magicznym suma kwadratów liczb w pierwszym wierszu jest równa sumie kwadratów liczb w trzecim wierszu.

Zadanie 5

Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną, której dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 56, która jest podzielna przez 56 i suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 56.

Zadanie 6

Do trzech księgarń przywieziono 1990 książek. Przez każdy z pierwszych trzech dni w pierwszej księgarni sprzedano odpowiednio , i część otrzymanych książek, natomiast w drugiej księgarni w te same dni sprzedano , i części dostarczonych do niej książek. Trzecia księgarnia sprzedała w te dni , i części swojej dostawy. Ile książek dostała każda z księgarń?

Zadanie 7

Rozwiąż rebus: BATON + ATON + TON + ON + N = 55550

Zadanie 8

Czy można podzielić zbiór liczb {1, 2, 3, 4, ..., 21} na kilka grup, by w każdej z nich największa liczba była równa sumie pozostałych liczb w tej grupie?

Zadanie 9

Czy można wybrać pięć liczb całkowitych tak aby wszystkie możliwe sumy jakie otrzymamy dodając po dwie liczby utworzyły dziesięć kolejnych liczb całkowitych?

Zadanie 10

O trzech liczbach pierwszych wiadomo, że jedna z nich równa się różnicy trzecich potęg dwóch pozostałych. Jakie to liczby?

Zadanie 11

Liczba dwucyfrowa dodana do liczby zapisanej przy pomocy tych samych cyfr co liczba wyjściowa, tylko w zmienionym porządku, daje nam kwadrat liczby naturalnej. Wyznaczyć wszystkie takie liczby dwucyfrowe.

Zadanie 12

Liczba czterocyfrowa jest kwadratem liczby naturalnej, przy czym pierwsze jej dwie cyfry są takie same, ale także dwie ostatnie są takie same. Jaka to liczba.

Zadanie 13

Suma odwrotności trzech liczb naturalnych jest równa 1. Jakie to liczby? Wyznacz wszystkie takie układy liczb?

Zadanie 14

W trójkącie prostokątnym ABC, |ĐACB| = 90°, poprowadzono środkową CD. Niech K będzie punktem styczności okręgu wpisanego w trójkąt ACD z bokiem AD tego trójkąta. Wyznaczyć kąta trójkąta ABC, jeśli K jest środkiem boku AD.

Zadanie 15

W trójkącie ortocentrum (punkt przecięcia prostych zawierających boki trójkąta) dzieli każdą z wysokości w tym samym stosunku. Uzasadnić, że trójkąt ten jest równoboczny.

Zadanie 16

Wyznaczyć wszystkie liczby dwucyfrowe, w których suma cyfr nie zmienia się przy przemnożeniu takiej liczby przez 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Zadanie 17

W trapezie równoramiennym przekątna dzieli ten trapez na dwa trójkąty równoramienne. Wyznaczyć kąty tego trapezu.

Zadanie 18

Uzasadnić, że liczby   222006 - 1   i   232006 - 1 są podzielne przez 3.

Zadanie 19

Dany jest kwadrat o boku 1. Wyznaczyć zbiór wszystkich punktów takich, że suma odległości każdego z tych punktów od prostych zawierających boki kwadratu jest równa 4.

Zadanie 20

Przez jaką liczbę należy pomnożyć liczbę 999 999 999 aby otrzymać liczbę, której zapis dziesiętny składa się z samych jedynek.

Zadanie 21

Czy istnieje liczba naturalna, której kwadrat zaczyna się układem cyfr 123456789 i kończy się układem cyfr 987654321?

Zadanie 22

W kwadracie ABCD mamy 5 punktów. Uzasadnić, że dla pewnych dwóch z nich ich odległość nie przekracza ½|AC|.

Zadanie 23

Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną, której zapis zaczyna się cyfrą 4 i która zmniejszy się czterokrotnie jeśli cyfrę 4 przeniesiemy na koniec tej liczby.

Zadanie 24

Wyznaczyć wszystkie liczby czterocyfrowe, które są 83 razy większe od sumy swoich cyfr.

Zadanie 25

Czy kwadrat liczby całkowitej może się kończyć trzema jednakowymi cyframi (chodzi o zapis dziesiętny!)?

Zadanie 26

Wyznaczyć taka liczbę naturalna większą niż 1, że dzieląc każdą z liczb 1108, 1453, 1844 i 2281 przez tę liczbę otrzymamy tę samą resztę.

Życzymy udanych wakacji!
Zapraszamy do udziału w Lidze Zadaniowej
w roku szkolnym 2006/2007!