LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2006/2007 Zadania niespodziankina zakończenie konkursu dla uczniów klas I gimnazjum

Zadanie 1

Czy można prostokąt o wymiarach 55×39 pociąć na prostokąty o wymiarach 5×11?

Zadanie 2

Udowodnij, że jeśli w trójkącie miara każdego kąta jest większa od 59°, to jest ona jednocześnie mniejsza od 62°.

Zadanie 3

Na płaszczyźnie danych jest 2007 punktów i okrąg o promieniu 1. Udowodnić, że na okręgu istnieje taki punkt, że suma jego odległości od danych punktów jest większa od 2007.

Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne, które są równe potrojonej sumie swoich cyfr.

Zadanie 5

Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną podzielną przez 41, która przy dzieleniu przez 39 ma resztę 24.

Zadanie 6

Zapis dziesiętny liczby trzycyfrowej zaczyna się cyfrą 7. Cyfrę tę przenosimy na koniec zapisu. Otrzymana liczba jest o 117 mniejsza od liczby wyjściowej. Od jakie liczby wystartowaliśmy?

Zadanie 7

Liczby 1, 2, 3, 4 należy wpisać w kratki, w każdą kratkę jedną liczbę, kwadratu 4×4 tak, aby w każdym wierszu i w każdej kolumnie i na każdej przekątnej występowały wszystkie liczby.

Zadanie 8

Mamy 1001 jednakowo wyglądających monet. Wiadomo, że wśród nich jest tylko jedna fałszywa - ma inną wagę od pozostałych. Wyjaśnij przy pomocy dwóch ważeń na wadze szalkowej bez odważników czy moneta fałszywa jest cięższa czy lżejsza od pozostałych monet.

Zadanie 9

Piotr, Zbyszek i Mirek mają łącznie 100 zadań z pewnego zestawu, przy czym każdy z nich rozwiązał 60 zadań. Zadanie uważamy za "trudne" jeżeli rozwiązał je tylko jeden z chłopców, natomiast zadanie uważamy za "łatwe "jeżeli rozwiązali je wszyscy chłopcy. Pozostałe rozwiązane zadania uważamy za "średnie". Uzasadnij, że zadań trudnych było o 20 więcej niż zadań łatwych.

Zadanie 10

Wilk i konik grają w następującą grę. Na tablicy jeden z nich pisze liczbę naturalną dodatnią. W każdym następnym ruchu na zmianę kolejno jeden z nich ściera liczbę i wpisuje w to miejsce różnicę startej liczby i wybranej niezerowej "cyfry" zapisu dziesiętnego startej liczby. Wygrywa ten, który na tablicy wpisze liczbę 0. Kto może zapewnić sobie wygraną, jeśli zaczyna wilk od liczby 2007?

Zadanie 11

Na okręgu mamy 10 punktów. Na zmianę każdy z dwóch chłopców łączy dwa punkty spośród danych odcinkiem. Który z chłopców może zapewnić sobie wygraną, jeśli nie wolno tych samych punktów łączyć ponownie, natomiast odcinki mogą się przecinać, mieć punkty wspólne. Przegrywa ten, który nie może poprowadzić odcinka. Który z chłopców ma strategię wygrywającą?

Zadanie 12

Rozwiązać rebus (kryptoreklama): COLA + COLA = WODA.

Zadanie 13

Za stołem mamy pewną liczbę chłopców i pięć dziewcząt. Na stole na talerzu mamy 30 bułek. Każda dziewczyna dała po jednej bułce znajomemu chłopcu, a każdy chłopiec dał po jednej bułce każdej nieznajomej dziewczynie. Wtedy wszystkie bułki zostały rozdane. Ilu chłopców było przy stole?

Zadanie 14

Czy można dobrać cztery liczby całkowite dodatnie tak, by suma dowolnych dwóch z nich była potęgą piątki?

Zadanie 15

Podać przykład liczby ośmiocyfrowej o różnych cyfrach, w której po skreśleniu dowolnych dwóch cyfr zawsze otrzymujemy liczbę złożoną.

Zadanie 16

Uzasadnij, że prostokąta o wymiarach 10×10 nie da się złożyć z figur w kształcie litery T składających się z czterech kwadracików jednostkowych.

Zadanie 17

Ania, Jurek i Grzegorz kupowali jednakowe książki, zeszyty i ołówki. Ania za 2 książki, 4 zeszyty i 1 ołówek zapłaciła 31,50 zł. Jurek kupił 4 książki, 10 zeszytów i 1 ołówek za kwotę 42 zł. Ile złotych zapłacił Grzegorz, który kupił 1 książkę, 1 zeszyt i 1 ołówek?

Zadanie 18

Ile zer ma na końcu liczba będąca iloczynem wszystkich parzystych liczb: (a) dwucyfrowych; (b) pięciocyfrowych?

Zadanie 19

Napisz wzór ogólny mianownika ułamka zwykłego nieskracalnego, który zamienia się na ułamek dziesiętny skończony.

Zadanie 20

Określ wiek brata i wiek siostry, jeżeli 62,5% wieku brata wynosi o 2 lata więcej niż 75% wieku siostry, a 50% wieku brata wynosi o 7 lat więcej niż 37,5% wieku siostry.

Serdecznie zapraszamy
na uroczyste zakończenie Ligi Zadaniowej 2006/2007.