Liga Zadaniowa UMK w Toruniu 2006/2007

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2006/2007 Zadania konkursowe z etapu II-go dla uczniów klas II gimnazjum
Zadanie 1
Średnicę okręgu AC podzielono na dwa odcinki AB i BC o długościach 12 cm i 4 cm. Na odcinkach tych zbudowanpo pólkola jak na rysunku. Oblicz pole i obwód obszaru zamalowanego. Czy obwód tego obszaru jest większy od obwodu tego okręgu?
Zadanie 2
Udowodnij, że jeśli n jest liczba naturalną nieparzystą, to różnica jej czwartej potęgi i liczby 1 jest podzielna przez 16.
Zadanie 3
Wyrażenie algebraiczne przekształć do najprostszej postaci, a następnie policz jego wartość dla a = i b = -0,125.
Zadanie 4
Czy 2¹⁸ + 5¹² jest liczbą pierwszą?
Zadanie 5
Oblicz pole i obwód zamalowanej figury na rysunku obok, gdzie długość boku kwadratu jest równa 10 cm, a łuki są odpowiednio półokręgami.
Zadanie 6
Udowodnij, że dla dowolnych rzeczywistych liczb dodatnich a, b takich, że a×b < 0 zachodzi nierowność: Pokaż, kiedy zachodzi równość.

Uwaga: wszystkie odpowiedzi do zadań powinny być uzasadnione.