Zadanie 1
Średnicę okręgu $AC$ podzielono na dwa odcinki $AB\text{ i }BC$ o długościach 12 cm i 4 cm.
Na odcinkach tych zbudowano półkola jak na rysunku.
Oblicz pole i obwód obszaru zamalowanego. Czy obwód tego obszaru jest większy od obwodu tego okręgu?
Zadanie 2
Udowodnij, że jeśli $n$ jest liczba naturalną nieparzystą, to różnica jej czwartej potęgi i liczby 1 jest podzielna przez 16.
Zadanie 3
Przekształć poniższe wyrażenie
$$\frac{2b-a}{2b+a}-\frac{8ab}{a^2-4b^2}+\frac{2b}{a-2b}$$
do najprostszej postaci,
a następnie policz jego wartość dla $a=\frac{1}{3}\text{ i } b=-0,125.$
Zadanie 4
Czy $2^{18} + 5^{12}$ jest liczbą pierwszą?
Zadanie 5
Oblicz pole i obwód zamalowanej figury na rysunku obok, gdzie długość boku kwadratu jest równa 10 cm, a łuki są odpowiednio półokręgami.
Zadanie 6
Udowodnij, że dla dowolnych rzeczywistych liczb $a$, $b$ takich, $\text{że }a\cdot b \lt 0$ zachodzi nierówność $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le -2.$
Pokaż, kiedy zachodzi równość.
Pokaż, kiedy zachodzi równość.
Uwagi.
- Wszystkie odpowiedzi do zadań powinny być uzasadnione.
- Czas trwania konkursu: 90 minut.
- Nie można używać kalkulatorów.