Zadanie 1
Oblicz pole czworokąta $ABCD$, mając dane współrzędne punktów:: $A = (-1, -3)$, $B = (-4, 1)$, $C = (8,6)$, $D = (6,-1).$
Zadanie 2
W trójkącie równoramiennym $ABC$, gdzie $|AB| = |BC|$, miara jednego z kątów zewnętrznych jest równa $110^{\circ}.$ Wyznacz miary kątów wewnętrznych trójkąta.
Zadanie 3
Uzupełnij kwadrat magiczne.
| $-2n^2-1$ | $n^2$ | |
| $3n^2$ | ||
| $5x-20$ | $-x+3$ | $11-x$ |
Zadanie 4
Dane są punkty: $(-2,-1)$, $(4, 1)$, $(0, 3)$.
Wyznacz wszystkie równoległoboki, których wierzchołki znajdują się w podanych punktach.
Zadanie 5
Punkty $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ dzielą okrąg na równe części i leżą na okręgu wvpodanej kolejności. Oblicz miary: kąta $CDE$, kąta $CDE$ oraz kąta $CEA.$
Zadanie 6
Oblicz pole wielokąta przedstawionego na rysunku
wiedząc, że $0 \lt x \lt 1.$ Ponadto podano długości boków i zaznaczone kąty są proste.
wiedząc, że $0 \lt x \lt 1.$ Ponadto podano długości boków i zaznaczone kąty są proste.
Zadanie 7
Liczby $x$ i $y$ są dodatnie. Co jest większe: 130% sumy liczb $x$ i $y$ czy suma 130% liczby $x$ i 120% liczby $y$?
Zadanie 8
Wiedząc, że $\frac{a}{a+b}=\frac{1}{2005}$ oblicz $\frac{b}{a+3b}.$
Zadanie 9
Punkty $A = (3,4)$ i $B = (3,10)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$, którego pole jest równe 15. Znajdź współrzędne punktu $C$ wiedząc, że:- trójkąt $ABC$ jest równoramienny i odcinek $AB$ jest jego podstawą,
- trójkąt $ABC$ jest prostokątny,
- druga współrzędna punktu $C$ jest równa -3.
Zadanie 10
Oblicz miary kątów trójkąta równoramiennego, którego wierzchołki leżą na okręgu wiedząc, że jeden z boków jest oparty na $\frac{1}{5}$ okręgu.
Zadanie 11
Na rysunku widoczny jest kwadrat i trójkąt równoboczny.
Kąt $\alpha$ ma miarę $70^{\circ}$.
Oblicz miary dwóch kątów zaznaczonych na rysunku.
Kąt $\alpha$ ma miarę $70^{\circ}$.
Oblicz miary dwóch kątów zaznaczonych na rysunku.
Zadanie 12
Zapisz i doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie algebraiczne, na którego podstawie można obliczyć kwotę spłaconych pieniędzy, jeśli mowa między dłużnikiem a wierzycielem zakłada, że pierwsze trzy raty będą jednakowej wysokości, a każda następna będzie równa połowie poprzedniej oraz, że wszystkich rat będzie 10.
Zadanie 13
Jakie jest pole i obwód narysowanego wielokąta? Odpowiedź podaj w postaci jak najprostszego wyrażenia algebraicznego.
Zadanie 14
Na okręgu obrano kolejne punkty $A$, $B$, $C$, $D$,
które podzieliły okrąg na cztery części w stosunku 3:6:5:4.
Oblicz miary kątów czworokąta $ABCD$.
Zadanie 15
Wszystkie wierzchołki czworokąta $ABCD$ leżą na okręgu, a przekątne czworokąta przecinają się w punkcie $S$ różnym od środka okręgu.
Ile stopni m kąt $ACD$ $\text{jeśli }|\angle DAB| = 80^{\circ}$, $|\angle BSC| = 110^{\circ}$, a $|\angle ABC| = 80^{\circ}$?
Zadanie 16
Dane są okrąg i dwa różne punkty $A\text{ i }B$ należące do tego okręgu.
Na łuku $AB$ obieramy dowolny punkt $P$ różny od punktów $A\text{ i }B$,
a na pozostałej części okręgu - dowolny punkt $Q$.
Uzasadnij, że suma kątów $BPA\text{ i }AQB$ jest kątem półpełnym.
Zadanie 17
Na okręgu o środku O obrano trzy różne punkty $A$, $B$, $C$ w ten sposób,
że odcinek $AC$ jest średnicą okręgu. Następnie ze środka $O$ poprowadzono odcinki $OD\text{ i }OE$ prostopadłe do cięciw $AB\text{ i }BC$ w ten sposób, że punkt $D$ leży na cięciwie $AB$, a punkt $E$ leży na cięciwie $BC$.
- Jakim czworokątem jest czworokąt $ABCD$?
- Uzasadnij, że $|AD| = |DB|$ i $|BE| = |EC|$.
Zadanie 18
W każdym z wielokątów na rysunkach poniżej oblicz sumę miar kątów zaznaczonych łukami.
(a)
(b)
(c)
Zadanie 19
Na okręgu o środku $O$ oznaczono punkty $A$, $B$, $C$ tak, że kąt $ABC$ wpisany w ten okrąg
ma miarę $40^{\circ}$, a kąt środkowy $BOC$ ma miarę $160^{\circ}.$ Oblicz miary kątów w trójkątach $AOB$, $AOC$, $BOC.$
Zadanie 20
Wierzchołki trójkąta o bokach długości 6 cm, 8 cm i 10 cm leżą na okręgu o promieniu 5 cm. Oblicz pole tego trójkąta.
Zadanie 21
Na danym okręgu o środku $O$ obieramy dwa różne punkty i prowadzimy przez te punkty
styczne przecinające się w punkcie $P.$ Jak należy obrać punkty $A$ i $B$, aby:
- trójkąt $APB$ był równoboczny,
- czworokąt $APBO$ był kwadratrem?
Zadanie 22
Oblicz miary kątów trójkąta $AOB$ jeśli miara kąta $ACB$ jest równa $42^{\circ}.$
Zadanie 23
Wyznacz miarę kąta $\beta.$
Uwaga: Dodatkowe zadania przygotowawcze można znaleźć w książce Liga Zadaniowa na stronach 25-27, 15-18, 78-90.