Zadania niespodzianki
dla uczniów klas I gimnazjum

Iloczyn liczby naturalnej przez sumę jej cyfr wynosi 2008. Wyznaczyć wszystkie liczby o tej własności.

Mamy 8 odcinków, których długości są liczbami całkowitymi centymetrów. Najdłuższy z nich ma długość 20 cm. Udowodnij, że istnieją wśród nich 3 odcinki, z których można zbudować trójkąt.

Wiedząc, że $\frac{a-4b}{b}=7$, oblicz wartość wyrażenia $\frac{a+3b}{a}.$

Połowa pasażerów, którzy wsiedli do tramwaju na przystanku początkowym zajęła miejsca siedzące. Na pierwszym przystanku liczba pasażerów zwiększyła się o 8%. Ilu pasażerów wsiadło do tramwaju na przystanku początkowym, jeśli wiadomo, że w tramwaju mieści się co najwyżej 70 osób?

W sali kinowej mamy 7 rzędów po 10 miejsc w każdym rzędzie. Na poranny seans przyszła grupa 50 uczniów. Ta sama grupa przyszła do tej sali na popołudniowy seans. Udowodnić, że w tej grupie znajdzie się dwoje dzieci, które zarówno na porannym seansie jak i na popołudniowym seansie siedziały w tym samym rzędzie (niekoniecznie o tym samym numerze, np. rano mogły siedzieć w rzędzie o numerze 1, a po południu w rzędzie o numerze 5).

Jeżeli piszę jedna cyfrę w ciągu sekundy, to ile czasu zajmie mi wypisanie wszystkich liczb od 1 do 2008?

Drogą szła grupa ludzi. Na skrzyżowaniu więcej $ \text{niż }\frac{1}{3}$ z nich poszła na prawo, a więcej niż 30% poszło na lewo. Wszyscy pozostali, których jak się okazało było więcej $ \text{niż }\frac{4}{11}$ grupy, zawrócili. Uzasadnij, że w tej grupie były co najmniej 173 osoby.

Prostokąt o wymiarach $4\times 5$ podzielono na jednakowe kwadraciki. W każdym kwadracik wpisano po jednej z liczb z następującego zestawu liczb: cztery jedynki, dwie dwójki, siedem trójek, osiem czwórek. Przy wpisywaniu zachowano zasadę, aby sumy liczb w kolumnach były takie same, a także sumy liczb liczby w wierszach były takie same. Której z liczb nie wpisano w prostokąt?

Niech $AF$ będzie środkową wtrójkącie $ABC.$ Na przedłużeniu boku $AB$ poza punktem $B$ obrano punkt $D.$ Niech $E$ będzie punktem przecięcia prostej $DF$ z bokiem $AC$ trójkąta $ABC.$ Udowodnić, że $|CE|=|EF|$, jeśli wiadomo, że $|AB|=|BD|=|AF|.$

W parku rośnie 18 dębów. Na każdym z nich była taka sama liczba żołędzi. Zaczął wiać silny wiatr i część żołędzi spadła z drzew: z niektórych dębów spadła dokładnie połowa żołędzi, z innych $\frac{1}{3}$ liczby żołędzi, natomiast z pozostałych dębów nie spadł ani jeden. Wiemy również, że ze wszystkich dębów spadła w sumie $\frac{1}{9}$ wszystkich żołędzi. Na ilu dębach pozostały wszystkie żołędzie?

Czy to prawda, że różnica każdej liczby trzycyfrowej i sumy jej cyfr dzieli się przez 9?

Bak był pełen benzyny. Przelano ją do trzech kanistrów. Do każdego z nich przelano tę samą całkowitą liczbę litrów. Okazało się, że w pierwszym kanistrze benzyna wypełniła $\frac{1}{2}$ jego objętości, w drugim $\frac{2}{3}$, a w trzecim $\frac{3}{4}.$ Przy jakiej najmniejszej objętości baku jest możliwa taka sytuacja, jeśli objętości baku i kanistrów wyrażają się całkowitymi liczbami litrów?

Ile sześcianów jest w sześcianie $5\times 5\times 5$ podzielonym na sześciany jednostkowe?

Liczby całkowite dodatnie nieprzekraczające czterdziestu czterech podzielono na dwa zbiory ze względu na parzystość. Następnie z każdego zbioru wybrano możliwie największy podzbiór tak, że sumy liczb w  tych podzbiorach były równe. Ile elementów wybrano z każdego zbioru i jaka była suma wszystkich wybranych liczb?

-Kto gwizdał? - zdenerwowany nauczyciel zapytał o to swoich czterech uczniów, z których tylko jeden właśnie zagwizdał.

Udzielili oni następujących odpowiedzi:

• Jacek: -To Marcin!
• Marcin: -To Darek!
• Wojtek: -Nie ja gwizdałem!
• Darek: -Marcin kłamie!

Nauczyciel wie, że jego uczniowie są kłamczuchami. W tym przypadku aż trzech skłamało i tylko jeden powiedział prawdę.
Kto gwizdał, a kto powiedział prawdę?

Dwaj mędrcy napisali na siedmiu kartkach liczby od 5 do 11 po jednej na każdej kartce i na różnych kartkach różne liczby.
Następnie włożyli je do urny. Pierwszy z nich wyciągnął trzy kartki, a następnie drugi wyciągnął dwie kartki. Pierwszy rzekł do drugiego:
-To, że suma liczb na Twoich kartkach jest parzysta.
Ile wynosi suma liczb na kartkach pierwszego mędrca.