LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2008/2009

Zadania niespodzianki na zakończenie konkursu
dla uczniów klas I gimnazjum
Zadanie 1
Iloczyn liczby naturalnej przez sumę jej cyfr wynosi 2008. Wyznaczyć wszystkie liczby o tej własności.

Zadanie 2
Mamy 8 odcinków, których długości są liczbami całkowitymi centymetrów. Najdłuższy z nich ma długość 20 cm. Udowodnij, że istnieją wśród nich 3 odcinki, z których można zbudować trójkąt.

Zadanie 3
Czy prawdą jest , że do każdej liczby naturalnej równej iloczynowi dwóch kolejnych liczb naturalnych można dopisać z prawej strony dwie cyfry tak, aby otrzymać liczbę będąca kwadratem liczby naturalnej?

Zadanie 4
Wiedząc, że (a-4b)/b=7), oblicz wartość wyrażenia (2a+3b)/a .

Zadanie 5
Na rysunku widoczny jest kwadrat i trójkąt równoboczny. Kąt ma miarę 700. Oblicz dwa kąty zaznaczone na rysunku.

Zadanie 6
Połowa pasażerów, którzy wsiedli do tramwaju na przystanku początkowym zajęła miejsca siedzące. Na pierwszym przystanku liczba pasażerów zwiększyła się o 8%. Ilu pasażerów wsiadło do tramwaju na przystanku początkowym, jeśli wiadomo, że w tramwaju mieści się co najwyżej 70 osób?

Zadanie 7
W sali kinowej mamy 7 rzędów po 10 miejsc w każdym rzędzie. Na poranny seans przyszła grupa 50 uczniów. Ta sama grupa przyszła do tej sali na popołudniowy seans. Udowodnić, że w tej grupie znajdzie się dwoje dzieci, które zarówno na porannym seansie jak i na popołudniowym seansie siedziały w tym samym rzędzie (niekoniecznie o tym samym numerze, np. rano mogły siedzieć w rzędzie o numerze 1, a po południu w rzędzie o numerze 5).
Zadanie 8
Jeżeli piszę jedna cyfrę w ciągu sekundy, to ile czasu zajmie mi wypisanie wszystkich liczb od 1 do 2008?

Zadanie 9
Drogą szła grupa ludzi . Na skrzyżowaniu więcej niż 1/3 z nich poszła na prawo, a więcej niż 30% poszło na lewo. Wszyscy pozostali, których jak się okazało było więcej niż 4/11 grupy, zawrócili. Uzasadnij, że w tej grupie były co najmniej 173 osoby.

Zadanie 10
Prostokąt o wymiarach 4 x 5 podzielono na jednakowe kwadraciki. W każdym kwadracik wpisano po jednej z liczb z następującego zestawu liczb: cztery jedynki, dwie dwójki, siedem trójek, osiem czwórek. Przy wpisywaniu zachowano zasadę, aby sumy liczb w kolumnach były takie same, a także sumy liczb liczby w wierszach były takie same. Której z liczb nie wpisano w prostokąt?

Zadanie 11
Niech AF będzie środkową w trójkącie ABC. Na przedłużeniu boku AB poza punktem B obrano punkt D. Niech E będzie punktem przecięcia prostej DF z bokiem AC trójkąta ABC. Udowodnić, że |CE|=|EF|, jeśli wiadomo, że |AB|=|BD|=|AF|.

Zadanie 12
W parku rośnie 18 dębów. Na każdym z nich była taka sama liczba żołędzi. Zaczął wiać silny wiatr i część żołędzi spadła z drzew: z niektórych dębów spadła dokładnie połowa żołędzi, z innych 1/3 liczby żołędzi, natomiast z pozostałych dębów nie spadł ani jeden. Wiemy również, że ze wszystkich dębów spadła w sumie 1/9 wszystkich żołędzi. Na ilu dębach pozostały wszystkie żołędzie?

Zadanie 13
Czy to prawda, że różnica każdej liczby trzycyfrowej i sumy jej cyfr dzieli się przez 9?

Zadanie 14
Bak był pełen benzyny. Przelano ją do trzech kanistrów. Do każdego z nich przelano tę samą całkowitą liczbę litrów. Okazało się, że w pierwszym kanistrze benzyna wypełniła 1/2 jego objętości, w drugim 2/3, a w trzecim 3/4. Przy jakiej najmniejszej objętości baku jest możliwa taka sytuacja, jeśli objętości baku i kanistrów wyrażają się całkowitymi liczbami litrów?

Zadanie 15
Ile sześcianów jest w sześcianie 5x5x5 podzielonym na sześciany jednostkowe?

Zadanie 16
Liczby całkowite dodatnie nieprzekraczające czterdziestu czterech podzielono na dwa zbiory ze względu na parzystość. Następnie z każdego zbioru wybrano możliwie największy podzbiór, tak że sumy liczb w tych podzbiorach były równe. Ile elementów wybrano z każdego zbioru i jaka była suma wszystkich wybranych liczb?

Zadanie 17
Kto gwizdał? – zdenerwowany nauczyciel zapytał o to swoich czterech uczniów, z których tylko jeden właśnie zagwizdał. Udzielili oni następujących odpowiedzi:
  • Jacek: To Marcin!
  • Marcin: To Darek!
  • Wojtek: Nie ja gwizdałem!
  • Darek: Marcin kłamie!
Nauczyciel wie, że jego uczniowie są kłamczuchami. W tym przypadku aż trzech skłamało i tylko jeden powiedział prawdę. Kto gwizdał, a kto powiedział prawdę?

Zadanie 18
Dwaj mędrcy napisali na siedmiu kartkach liczby od 5 do 11 po jednej na każdej kartce i na różnych kartkach różne liczby. Następnie włożyli je do urny. Pierwszy z nich wyciągnął trzy kartki, a następnie drugi wyciągnął dwie kartki. Pierwszy rzekł do drugiego: Wiem, że suma liczb na Twoich kartkach jest parzysta. Ile wynosi suma liczb na kartkach pierwszego mędrca.

Serdecznie zapraszamy
na uroczyste zakończenie Ligi Zadaniowej 2008/2009!