Zadania niespodzianki
dla uczniów klas II gimnazjum

Prostokąt o wymiarach $4\times 5$ podzielono na jednostkowe kwadraciki. W każdy kwadracik wpisano po jednej z liczb z następującego zestawu liczb: cztery jedynki, dwie dwójki, siedem trójek, osiem czwórek. Przy wpisywaniu zachowano zasadę, aby sumy liczb w kolumnach były takie same, a także sumy liczb w wierszach były takie same. Której z liczb nie wpisano w prostokąt?

Iloczyn pewnej liczby naturalnej przez sumę jej cyfr jest równy 2008. Wyznaczyć wszystkie liczby o tej własności.

Na tablicy napisano następujące liczby $1, 2, 4, 8, 16, 23, 28, . . .$ itd. Każda kolejna liczba, począwszy od drugiej, powstaje z poprzedniej przez dodanie do niej sumy jej cyfr. Czy na tablicy pojawi się liczba 200720082009?

Oblicz wartość wyrażenia $(10^2 + 1)\cdot (10^4 + 1)\cdot (10^8 + 1) \cdot \text{...} \cdot (10^{64} + 1) \cdot 99.$

Wiemy, że $\frac{a-4b}{b}=7.$ Oblicz wartość wyrażenia $\frac{2a+3b}{a}.$

Obliczyć $\sqrt{2006\cdot 2008\cdot 2010\cdot 2012+16}.$

Czy istnieją takie cyfry $a\text{ i }b$, gdzie $b\gt a$, dla których liczba $\underbrace{\overline{aaa\text{...}a}}_{b\text{ cyfr}}-\underbrace{\overline{bbb\text{...}b}}_{a\text{ cyfr}}$ jest liczbą pierwszą?

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $a$, dla których dwa zdania spośród poniższych trzech będą prawdziwe, a jedno fałszywe:

1. $ a + 41$ jest kwadratem liczby naturalnej.
2. $ a - 21$ jest liczbą podzielną przez 10.
3. $ a - 48$ jest kwadratem liczby naturalnej.

Znaleźć wszystkie liczby trzycyfrowe $\overline{abc}$ , dla których zachodzi równość $\overline{abc}=2(\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ac})$, gdzie zapis $\overline{xyz}$ oznacza $100x+10y+z.$

Mamy 8 odcinków, których długości są całkowitymi liczbami centymetrów. Najdłuższy z nich ma długość 20 cm. Udowodnić, że istnieją wśród nich trzy odcinki, z których można zbudować trójkąt.

W kwadracie o boku długości a ścięto naroża tak, że powstał ośmiokąt o równych bokach. Oblicz pole tego ośmiokąta.

W trapezie $ABCD$ podstawami są $AB\text{ i } CD$, natomiast ramię $AD$ jest równe sumie podstaw $AB\text{ i } CD.$ Udowodnić, że dwusieczne kątów wewnętrznych przy wierzchołkach $A\text{ i }D$ przecinają się na ramieniu $BC.$

Niech $AF$ będzie środkową w trójkącie $ABC.$ Na przedłużeniu boku $AB$ poza punktem $B$ obrano punkt $D.$ Niech $E$ będzie punktem przecięcia prostej $DF$ z bokiem $AC$ trójkąta $ABC.$ Udowodnić, że $|CE|=|EF|$, jeśli wiadomo, że $|AB|=|BD|=|AF|.$

Niech $ABCD$ będzie czworokątem wypukłym, w którym $|\angle CBD| = |\angle CAB| \text{ i }|\angle ACD| = |\angle BDA|.$
Pokazać, że $|\angle ABC| = |\angle ADC|.$

Na trójkącie równobocznym $ABC$ opisano okrąg. Na łuku $BC$ nie przechodzącym przez punkt $A$ wybrano punkt $P$, różny od końców łuku. Odcinki $AP\text{ i }BC$ przecinają się w punkcie $K.$ Wykazać, że $\frac{1}{|PK|}=\frac{1}{|PB|}+\frac{1}{|PC|}$

W parku rośnie 18 dębów. Na każdym z nich była taka sama liczba żołędzi. Zaczął wiać silny wiatr i część żołędzi spadła z drzew: z niektórych dębów spadła dokładnie połowa żołędzi, z innych $\frac{1}{3}$ liczby żołędzi, natomiast z pozostałych dębów nie spadł ani jeden. Wiemy również, że ze wszystkich dębów spadła w sumie $\frac{1}{9}$ wszystkich żołędzi. Na ilu dębach pozostały wszystkie żołędzie?

Drogą szła grupa ludzi. Na skrzyżowaniu więcej niż $\frac{1}{3}$ z nich poszła na prawo, a więcej niż 30% poszło na lewo. Wszyscy pozostali, których jak się okazało było więcej niż $\frac{4}{11}$ grupy, zawrócili. Uzasadnij, że w tej grupie były co najmniej 173 osoby.

Adam mówi do Wojtka: Mam trzy razy więcej lat niż ty miałeś wtedy, kiedy ja miałem tyle lat ile masz teraz. Kiedy osiągniesz mój obecny wiek będziemy mieli łącznie 112 lat. Ile lat ma obecnie Wojtek?

W sali kinowej mamy 7 rzędów po 10 miejsc w każdym rzędzie. Na poranny seans przyszła grupa 50 uczniów. Ta sama grupa przyszła do  tej sali na popołudniowy seans. Udowodnić, że w tej grupie znajdzie się dwoje dzieci, które zarówno na porannym seansie jak i na popołudniowym seansie siedziały w tym samym rzędzie (niekoniecznie o tym samym numerze, np. rano mogły siedzieć w rzędzie o numerze 1, a po południu w rzędzie o numerze 5).

Wyznaczyć największy wspólny dzielnik liczb $a=2^{2008}-1 \text{ i } b=2^{2009}+1.$

Wyznaczyć 2009 liczb naturalnych takich, że suma tych liczb jest równa ich iloczynowi.