Liga Zadaniowa UMK w Toruniu

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2008/2009
Zadania niespodzianki dla uczniów klas II gimnazjum na zakończenie konkursu 2008/2009
Zadanie 1
Prostokąt o wymiarach 4×5 podzielono na jednostkowe kwadraciki. W każdy kwadracik wpisano po jednej z liczb z następującego zestawu liczb: cztery jedynki, dwie dwójki, siedem trójek, osiem czwórek. Przy wpisywaniu zachowano zasadę, aby sumy liczb w kolumnach były takie same, a także sumy liczb w wierszach były takie same. Której z liczb nie wpisano w prostokąt?
Zadanie 2
Iloczyn pewnej liczby naturalnej przez sumę jej cyfr jest równy 2008. Wyznaczyć wszystkie liczby o tej własności.
Zadanie 3
Czy prawdą jest, że do każdej liczby naturalnej równej iloczynowi dwóch kolejnych liczb natural- nych można dopisać z prawej strony dwie cyfry tak, aby otrzymać liczbę będącą kwadratem liczby naturalnej?
Zadanie 4
Na tablicy napisano następujące liczby 1, 2, 4, 8, 16, 23, 28, . . . itd. Każda kolejna liczba, począwszy od drugiej, powstaje z poprzedniej przez dodanie do niej sumy jej cyfr. Czy na tablicy pojawi się liczba 200720082009?
Zadanie 5
Oblicz wartość wyrażenia (10² + 1) (10⁴ + 1) (10⁸ + 1) · ... · (10⁶⁴ + 1) · 99.
Zadanie 6
Wiemy, że . Oblicz wartość wyrażenia .
Zadanie 7
Obliczyć .
Zadanie 8
Czy istnieją takie cyfry a i b, gdzie b > a, dla których liczba jest liczbą pierwszą?
Zadanie 9
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne a, dla których dwa zdania spośród poniższych trzech będą prawdziwe, a jedno fałszywe: a + 41 jest kwadratem liczby naturalnej. a − 21 jest liczbą podzielną przez 10. a − 48 jest kwadratem liczby naturalnej .
Zadanie 10
Znaleźć wszystkie liczby trzycyfrowe , dla których zachodzi równość = 2( + + ), gdzie zapis oznacza = 100 · x + 10 · y + z.
Zadanie 11
Mamy 8 odcinków, których długości są całkowitymi liczbami centymetrów. Najdłuższy z nich ma długość 20 cm. Udowodnić, że istnieją wśród nich trzy odcinki, z których można zbudować trójkąt.
Zadanie 12
W kwadracie o boku długości a ścięto naroża tak, że powstał ośmiokąt o równych bokach. Oblicz pole tego ośmiokąta.
Zadanie 13
W trapezie ABCD podstawami są AB i CD, natomiast ramię AD jest równe sumie podstaw AB i CD. Udowodnić, że dwusieczne kątów wewnętrznych przy wierzchołkach A i D przecinają się na ramieniu BC.
Zadanie 14
Niech AF będzie środkową w trójkącie ABC. Na przedłużeniu boku AB poza punktem B obrano punkt D. Niech E będzie punktem przecięcia prostej DF z bokiem AC trójkąta ABC. Udowodnić, że \|CE\|=\|EF\|, jeśli wiadomo, że \|AB\|=\|BD\|=\|AF\|.
Zadanie 15
Niech ABCD będzie czworokątem wypukłym, w którym \|∡CBD\| = \|∡CAB\| i \|∡ACD\| = \|∡BDA\|. Pokazać, że \|∡ABC\| = \|∡ADC\|.
Zadanie 16
Na trójkącie równobocznym ABC opisano okrąg. Na łuku BC nie przechodzącym przez punkt A wybrano punkt P, różny od końców łuku. Odcinki AP i BC przecinają się w punkcie K. Wykazać, że
Zadanie 17
W parku rośnie 18 dębów. Na każdym z nich była taka sama liczba żołędzi. Zaczął wiać silny wiatr i część żołędzi spadła z drzew: z niektórych dębów spadła dokładnie połowa żołędzi, z innych 1/3 liczby żołędzi, natomiast z pozostałych dębów nie spadł ani jeden. Wiemy również, że ze wszystkich dębów spadła w sumie 1/9 wszystkich żołędzi. Na ilu dębach pozostały wszystkie żołędzie?
Zadanie 18
Drogą szła grupa ludzi . Na skrzyżowaniu więcej niż 1/3 z nich poszła na prawo, a więcej niż 30% poszło na lewo. Wszyscy pozostali, których jak się okazało było więcej niż 4/11 grupy, zawrócili. Uzasadnij, że w tej grupie były co najmniej 173 osoby.
Zadanie 19
Adam mówi do Wojtka: Mam trzy razy więcej lat niż ty miałeś wtedy, kiedy ja miałem tyle lat ile masz teraz. Kiedy osiągniesz mój obecny wiek będziemy mieli łącznie 112 lat. Ile lat ma obecnie Wojtek?
Zadanie 20
W sali kinowej mamy 7 rzędów po 10 miejsc w każdym rzędzie. Na poranny seans przyszła grupa 50 uczniów. Ta sama grupa przyszła do tej sali na popołudniowy seans. Udowodnić, że w tej grupie znajdzie się dwoje dzieci, które zarówno na porannym seansie jak i na popołudniowym seansie siedziały w tym samym rzędzie (niekoniecznie o tym samym numerze, np. rano mogły siedzieć w rzędzie o numerze 1, a po południu w rzędzie o numerze 5).
Zadanie 21
Wyznaczyć największy wspólny dzielnik liczb a = 2²⁰⁰⁸ − 1 i b = 2²⁰⁰⁹ + 1.
Zadanie 22
Wyznaczyć 2009 liczb naturalnych takich, że suma tych liczb jest równa ich iloczynowi.

Serdecznie zapraszamy
na uroczyste zakończenie Ligi Zadaniowej
w roku 2008/2009 !