Zadanie 1
W trójkącie $ABC$ niech $D$ będzie środkiem boku $BC.$ Oblicz pole trójkąta $ABC$ wiedząc,
że $|AB| = 8\text{ cm}$, $|BC| = 12\text{ cm}$ $\text{i }|AD| = 10\text{ cm}.$
Zadanie 2
Podane wyrażenie sprowadź do najprostszej postaci
$\left(x+y-\frac{4xy}{x+y}\right):\left(\frac{x}{x+y}-\frac{y}{y-x}-\frac{2xy}{x^2-y^2}\right)$
i oblicz jego wartość dla $x=3+\sqrt{2}\text{ i }y=\sqrt{2}-1.$
Zadanie 3
Środkiem sześciokąta foremnego jest punkt (2, 2), a jednym z jego wierzchołków jest punkt (2, 6). Wyznaczyć pozostałe wierzchołki sześciokąta oraz obliczyć jego pole i obwód.
Zadanie 4
Obliczyć odległość między środkami okręgów wpisanego i opisanego dla trójkąta,
którego boki mają długości 30, 30, 48.
Zadanie 5
Oblicz $\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\text{...}+\frac{1}
{\sqrt{2009}+\sqrt{2008}}\right)^2.$
Zadanie 6
W trójkącie $ABC$ poprowadzono dwusieczną $AD.$
Wyznaczyć kąty trójkąta $ABC$, jeśli środek okręgu wpisanego w trójkąt $ABD$
jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC.$
Uwagi.
- Wszystkie rozwiązania i odpowiedzi powinny być uzasadnione.
- Konkurs trwa 90 minut.
- Nie można używać kalkulatorów.