08_09_g_liga5

Zadanie 1

Oblicz $2\frac{1}{11}\cdot 2\frac{12}{13}+1\frac{2}{11}\cdot 2\frac{1}{13}+\frac{10}{11}\cdot 7\frac{1}{13}.$

Zadanie 2

Rozwiąż równanie $\overline{abcd}+\overline{bd}+\overline{cd}+\overline{d}=3022$, gdzie $\overline{xyzt}$ oznacza liczbę zapisaną za pomocą kolejnych cyfr $x,\;y,\;z,\;t.$

Zadanie 3

Rozwiąż arytmograf: $\text{AB + BC + CA = ABC}$.

Zadanie 4

Wyznacz wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez iloczyn swoich cyfr.

Zadanie 5

Wyznacz liczby dwucyfrowe, które są o 6 mniejsze od kwadratu sumy swoich cyfr.

Zadanie 6

Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych $p,\; q,\; r$ takie, że $p^q + q^p = r.$

Zadanie 7

Wyznacz wszystkie liczby naturalne $n$ takie, że dowolna liczba naturalna nieparzysta i sześcian tej liczby nieparzystej mają tę samą resztę z dzielenia przez $n.$

Zadanie 8

Wypisano po kolei siedem różnych liczb naturalnych w jednym wierszu. Iloczyn każdych dwóch kolejnych (sąsiednich) liczb jest kwadratem liczby naturalnej. Pierwszą liczbą jest 42. Udowodnij, że przynajmniej jedna z tych liczb jest większa niż 2007.

Zadanie 9

Czy istnieje taka liczba naturalna $k$, że $5k$ jest piątą potęgą pewnej liczby całkowitej, $6k$ jest szóstą potęgą liczby całkowitej oraz $7k$ jest siódmą potęgą liczby całkowitej?

Zadanie 10

Znajdź wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe, które są dwa razy większe od iloczynu liczby utworzonej z dwóch pierwszych swoich cyfr i liczby utworzonej przez ostatnie trzy swoje cyfry.
Uwaga. Nie zmieniamy kolejności cyfr.

Zadanie 11

Udowodnij, że w dowolnej liczbie naturalnej dziewięciocyfrowej, której wszystkie cyfry są różne od zera, można wybrać 3 lub 4 lub 7 kolejnych cyfr (stojących obok siebie) z zapisu tej liczby, by utworzona z nich liczba (bez zmiany kolejności cyfr) była podzielna przez 3.

Zadanie 12

Suma trzynastu różnych liczb naturalnych jest równa 92. Jakie to są liczby?.

Zadanie 13

Mamy 51 takich liczb, że ich iloczyn jest dodatni i iloczyn każdych czterech z nich jest też dodatni. Pokaż, że każda z tych liczb jest dodatnia.

Zadanie 14

Udowodnij, że wśród dowolnych różnych 53 liczb całkowitych dodatnich, których suma nie przekracza 2007 można wybrać takie dwie liczby, że ich suma jest równa 53.

Zadanie 15

Tablicę o wymiarach $6\times 6$ podzielono na 36 jednakowych kwadracików. Czy można wpisać w kwadraciki tej tablicy liczby naturalne tak, by suma liczb w dowolnym prostokącie o wymiarach $4\times 1$ była parzysta, a w całym kwadracie była nieparzysta.

Zadanie 16

Jakie największe pole może mieć czworokąt, którego boki mają długości $1,\;4,\;7,\;8?$

Zadanie 17

W trójkącie $ABC$ poprowadzono środkową $AM.$ Czy promień okręgu wpisanego w trójkąt $ABM$ może być dwa razy większy od promienia okręgu wpisanego w trójkąt $ACM?$

Zadanie 18

W czworokącie $ABCD$, który można wpisać w okrąg, poprowadzono okrąg przez punkty $A$, $B$ i punkt przecięcia przekątnych czworokąta. Okrąg ten przecina bok $BC$ w punkcie $E.$ Udowodnij, że jeśli $|AB| = |AD|$, to $|CE| = |CD|.$

Zadanie 19

Przy pomocy cyrkla i linijki skonstruować w trójkącie $ABC$ odcinki $BD$, $DE$, $EF\text{ i } FG$ (patrz rysunek) tak, by podzieliły one trójkąt $ABC$ na pięć trójkątów o równych polach.

Zadanie 20

W trapezie $ABCD$ (patrz rysunek) ramię $AD$ jest równe sumie podstaw $AB \text{ i } CD$ tzn. $|AD| = |CD| + |AB|.$ Udowodnij, że dwusieczne katów $BAD$ i $CDA$ przecinają się na ramieniu $B.$

Zadanie 21

Udowodnij, że jeśli w trójkącie istnieje okrąg, który jest styczny do dwóch jego boków i dwóch środkowych tego trójkąta, to trójkąt ten jest równoramienny.

Zadanie 22

Punkt $P$ jest dowolnym punktem trójkąta równobocznego $ABC$, a punkty $K,\; L,\; M$ są rzutami prostokątnymi punktu $P$ odpowiednio na boki $AB$, $BC$ i $AC.$ Udowodnij, że suma pól trójkątów zamalowanych jest równa sumie pól trójkątów niezamalowanych (patrz rysunek).

Zadanie 23

W trójkącie prostokątnym dwie środkowe mają długości 3 i 4. Jaką długość ma trzecia środkowa?.

Zadanie 24

Wyznaczyć wszystkie trójkąty prostokątne, których długości boków są liczbami naturalnymi i pole trójkąta jest równe jego obwodowi.

Zadanie 25

Rozwiąż układ następujący równań. $\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2005\\ \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2006\\ \frac{1}{z}+\frac{1}{x}=2007 \end{cases}$

Zadanie 26

Rozwiąż następujący układ równań. $\begin{cases} 1+x^2=2y \\ 1+y^2=2z \\1+z^2=2x\end{cases}$

Zadanie 27

Niech $a_1,\; a_2,\; a_3,\text{...},a_9$ będą takimi liczbami, że $0\lt a_1\lt a_2\lt a_3\lt \text{...}\lt a_9.$
Udowodnij, że $\frac{a_1+a_2+a_3+\text{...} +a_9}{a_3+a_6+a_9}\lt 3.$

Zadanie 28

Dla jakich dodatnich liczb $a$ i $b$ wyrażenie $\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{ab}$ ma wartość najmniejszą?

Życzymy udanych wakacji!
Zapraszamy do udziału w Lidze Zadaniowej w roku szkolnym 2009/2010.