|
LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU
ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2008/2009
Prezent wakacyjny dla uczniów gimnazjum 
|
| Zadanie 1 |
Oblicz  .
|
| Zadanie 2 |
Rozwiąż równanie  , gdzie  oznacza liczbę o cyfrach x, y, z, t.
|
| Zadanie 3 |
Rozwiąż arytmograf: AB + BC + CA = ABC.
|
| Zadanie 4 |
Wyznacz wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez iloczyn swoich cyfr.
|
| Zadanie 5 |
Wyznacz liczby dwucyfrowe, które są o 6 mniejsze od kwadratu sumy swoich cyfr.
|
| Zadanie 6 |
Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych p, g, r takie, że pq + qp = r.
|
| Zadanie 7 |
Wyznacz wszystkie liczby naturalne n takie, że dowolna liczba naturalna nieparzysta i sześcian tej liczby nieparzystej mają tę samą resztę z dzielenia przez n.
|
| Zadanie 8 |
Wypisano po kolei siedem różnych liczb naturalnych w jednym wierszu. Iloczyn każdych dwóch kolejnych (sąsiednich) liczb jest kwadratem liczby naturalnej. Pierwszą liczbą jest 42. Udowodnij, że przynajmniej jedna z tych liczb jest większa niż 2007.
|
| Zadanie 9 |
Czy istnieje taka liczba naturalna k, że 5k jest piątą potęgą pewnej liczby całkowitej, 6k jest szóstą potęgą liczby całkowitej oraz 7k jest siódmą potęgą liczby całkowitej?
|
| Zadanie 10 |
Znajdź wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe, które są dwa razy większe od iloczynu liczby utworzonej z dwóch pierwszych swoich cyfr i liczby utworzonej przez ostatnie trzy swoje cyfry.
Uwaga: nie zmieniamy kolejności cyfr.
|
| Zadanie 11 |
Udowodnij, że w dowolnej liczbie naturalnej dziewięciocyfrowej, której wszystkie cyfry są różne od zera, można wybrać 3 lub 4 lub 7 kolejnych cyfr (stojących obok siebie) z zapisu tej liczby, by utworzona z nich liczba (bez zmiany kolejności cyfr) była podzielna przez 3.
|
| Zadanie 12 |
Suma trzynastu różnych liczb naturalnych jest równa 92. Jakie to są liczby?.
|
| Zadanie 13 |
Mamy 51 takich liczb, że iloczyn ich jest dodatni i iloczyn każdych czterech z nich jest też dodatni. Pokaż, że każda z tych liczb jest dodatnia.
|
| Zadanie 14 |
Udowodnij, że wśród dowolnych różnych 53 liczb całkowitych dodatnich, których suma nie przekracza 2007 można wybrać takie dwie liczby, że ich suma jest równa 53.
|
| Zadanie 15 |
Tablicę o wymiarach 6x6 podzielono na 36 jednakowych kwadracików.
Czy można wpisać w kwadraciki tej tablicy liczby naturalne tak,
by suma liczb w dowolnym prostokącie o wymiarach 4x1 była parzysta,
a w całym kwadracie była nieparzysta
|
| Zadanie 16 |
Jakie największe pole może mieć czworokąt, którego boki mają długości 1, 4, 7, 8?
|
| Zadanie 17 |
W trójkącie ABC poprowadzono środkową AM. Czy promień okręgu wpisanego w trójkąt ABM może być dwa razy większy od promienia okręgu wpisanego w trójkąt ACM?
|
| Zadanie 18 |
W czworokącie ABCD, który można wpisać w okrąg, poprowadzono okrąg przez punkty A, B i punkt przecięcia przekątnych czworokąta. Okrąg ten przecina bok BC w punkcie E. Udowodnij, że jeśli |AB| = |AD|, to |CE| = |CD|.
|
| Zadanie 19 |
 Przy pomocy cyrkla i linijki skonstruować w trójkącie ABC odcinki BD, DE, EF i FG (patrz rysunek) tak, by podzieliły one trójkąt ABC na pięć trójkątów o równych polach.
|
| Zadanie 20 |
 W trapezie ABCD (patrz rysunek) ramię AD jest równe sumie podstaw AB i CD tzn. |AD| = |CD| + |AB|. Udowodnij, że dwusieczne katów BAD i CDA przecinają się na ramieniu BC.
|
| Zadanie 21 |
Udowodnij, że jeśli w trójkącie istnieje okrąg, który jest styczny do dwóch jego boków i dwóch środkowych tego trójkąta, to trójkąt ten jest równoramienny.
|
| Zadanie 22 |
 Punkt P jest dowolnym punktem trójkąta równobocznego ABC, a punkty K, L, M są rzutami prostokątnymi punktu P odpowiednio na boki AB, BC i AC. Udowodnij, że suma pól trójkątów zamalowanych jest równa sumie pól trójkątów niezamalowanych (patrz rysunek).
|
| Zadanie 23 |
W trójkącie prostokątnym dwie środkowe mają długości 3 i 4. Jaką długość ma trzecia środkowa?.
|
| Zadanie 24 |
Wyznaczyć wszystkie trójkąty prostokątne, których długości boków są liczbami naturalnymi i pole trójkąta jest równe jego obwodowi.
|
| Zadanie 25 |
Rozwiąż układ równań:
|
| Zadanie 26 |
Rozwiąż układ równań: 
|
| Zadanie 27 |
Niech a1, a2, a3, ..., a9 będą takimi liczbami, że 0 < a1 < a2 < a3 < ... < a9. Udowodnij, że 
|
| Zadanie 28 |
Dla jakich dodatnich liczb a i b wyrażenie  ma wartość najmniejszą?
|