LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2008/2009

Zadania przygotowawcze
do etapu II-go dla uczniów klas VI szkół podstawowych

Tematyka
  1. Potęga o wykładniku naturalnym.
  2. Obliczenia procentowe.
  3. Działania na liczbach wymiernych.
  4. Podzielność liczb całkowitych.

Zadanie 1

Uzupełnij kwadraty magiczne.
(a)
     
  $1,6$  
$-3$   $2,1$
(b)
    $3$
  $3^2$  
    $-3^2$
(c)
     
  $-3,6$  
    $1,2$

Zadanie 2

Smok ma 2007 głów. Rycerz może ściąć jednym cięciem 33 głowy lub 21 głów lub 17 głów lub 1 głowę. Smokowi odrasta odpowiednio 48, 0, 14 i 349 głów jednocześnie, tzn. jeśli rycerz zetnie 33 głowy to smokowi odrośnie 48 głów itd. Smok zostanie zabity jeśli wszystkie głowy zostaną ścięte. Czy rycerz może zabić smoka? Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 3

Ile dzielników ma liczba $10\cdot 25\cdot 7$?

Zadanie 4

1 stycznia 2008 roku o godzinie 12 w południe pewne dwa zegary wskazywały prawidłową godzinę. O jednym z nich wiemy, że w ciągu doby spieszy się o dwie minuty, drugi w tym czasie spóźnia się o dwie i pół minuty. Kiedy te zegary po raz pierwszy znów wskażą w ciągu doby tę samą godzinę? Czy będzie to w rokuv2008?

Zadanie 5

Oblicz $333\cdot \left(\frac{71}{111111}+\frac{573}{222222}-\frac{2}{3737} \right)$.

Zadanie 6

Liczba naturalna $a$ przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, zaś przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2. Jaką resztę otrzymamy z dzielenia liczby $a$ przez 35??

Zadanie 7

Która z liczb, $\frac{1}{2009}\cdot \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\text{...}+\frac{1}{2009}\right)$ czy $\frac{1}{2008}\cdot \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\text{...}+\frac{1}{2008}\right)$, jest większa?

Zadanie 8

Wyznacz wszystkie liczby dwucyfrowe mające największą liczbę dzielników.

Zadanie 9

W antykwariacie ustala się cenę książki równą $\frac{3}{2}$3 ceny książki w  momencie jej wydania. Dostarczający książkę otrzymuje 70% nowej ceny. Jaki to stanowi procent starej ceny?

Zadanie 10

W zapisie dziesiętnym liczby wystąpiły tylko 73 jedynki. Czy liczba ta dzieli się przez 111?.

Zadanie 11

Która z liczb jest większa, $\left( \frac{1}{10}\right)^{10}$ czy $\left( \frac{3}{10}\right)^{20}$?

Zadanie 12

Wiadomo, że $p \gt q$. Która z liczb jest większa, $\frac{p}{2}+\frac{q}{2}$ czy $q$ ?

Zadanie 13

Dla jakich $k\in N$ liczba $2^{k+1}$ jest podzielna przez 8?

Zadanie 14

Obliczyć wartość ułamka $\frac{a+b}{a-b}$, jeśli $2a^22 + 4ab = ab + 2b^2$.

Zadanie 15

Uzasadnij, że iloczyn cyfr liczby trzycyfrowej jest zawsze mniejszy od tej liczby.

Zadanie 16

W torebce jest mniej niż 200 cukierków. Ile ich jest, jeżeli wiadomo, że można je podzielić na 5 równych części, można je podzielić na 6 równych części, natomiast gdyby je podzielić na 7 części, to w jednej z nich będzie o 3 cukierki więcej od każdej z pozostałych.

Zadanie 17

Ile razy należy dodać do siebie 8, aby otrzymać w sumie $8^{100}$?

Zadanie 18

Na prostej obrano w kolejności punkty $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$. Jakie są odległości między kolejnymi punktami jeśli wiadomo, że $|AF| = 53\text{ cm}$, $|AB| = 2\cdot|EF|$, $|AB| \gt |BC| \gt |CD| \gt |DE| \gt |EF|$ i odległości te wyrażają się całkowitymi liczbami centymetrów.

Zadanie 19

Ile dzielników mają liczby: $\text{(a) } 5^{3}$, $\text{(b) } 6^{4}$, $\text{(c) } 5^3 \cdot 2$, $\text{(d) } 360$, $\text{(e) } 2^2 \cdot 3^3$, $\text{(f) }2^ \cdot 3^2 \cdot 5^2$?

Zadanie 20

Podaj największą liczbę naturalną, która przy dzieleniu przez 7 daje iloraz równy reszcie.

Zadanie 21

Woda stanowi 80%  masy grzybów. Suszono 6 kg grzybów. Wyparowało $\frac{9}{10}$ wody. Ile ważyły ususzone grzyby?

Zadanie 22

Ustaw w porządku rosnącym następujące liczby: $32^9$, $16^{12}$, $63^7$, $27^{11}$.

Zadanie 23

Każdy uczeń uczy się dokładnie dwóch spośród trzech języków: angielskiego, niemieckiego, francuskiego. Ile procent uczniów uczy się języka francuskiego, jeżeli angielskiego uczy się 90%, a niemieckiego 65%?

Zadanie 24

Rodzice Piotra rozważają trzy oferty sprzedaży mieszkań o powierzchni 35 m2. Które z tych mieszkań jest najtańsze?
  1. 2080 złotych + 7%VAT za 1 m2,
  2. 2300 złotych za 1 m2,
  3. 77000 zł.

Zadanie 25

Bogacz posiadający 100000 zł, aby wesprzeć biedaka mającego tylko złotówkę, dał mu 100 zł.
  1. O ile procent zbiedniał bogacz?
  2. O ile procent wzbogacił się biedak?

Zadanie 26

Mietek przechowuje swoje oszczędności w monetach dwuzłotowych i pięciozłotowych. Dwuzłotówki stanowią 35% jego oszczędności, a pięciozłotówek ma 26. Ile ma pieniędzy?

Zadanie 27

Zbyszek ma o 50% więcej pieniędzy niż Piotr. O ile procent Piotr ma mniej pieniędzy odvZbyszka?

Uwaga: Dodatkowe zadania przygotowawcze można znaleźć w książce "Liga Zadaniowa" na stronach: 25-27, 15-18, 78-90.