LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2008/2009

Zadania do etapu III-go dla uczniów klas VI szkół podstawowych
Tematyka
1. Proste wyrażenia algebraiczne.
2. Zadania tekstowe wymagające znajomości rozwiązywania prostych równań i nierówności.
3. Podstawowe figury geometryczne i ich pola.
Zadanie 1
Czy istnieje prostokąta, którego długości dwóch boków wynoszą odpowiednio 3/7 i 2/15 długości obwodu tego prostokąta?

Zadanie 2
Turysta miał do przebycia 80 km w ciągu trzech dni. Pierwszego dnia przebył 0,6 tego, co dnia drugiego, a trzeciego dnia przebył 2/5 całej drogi. Jakie odcinki drogi przeszedł turysta każdego dnia?

Zadanie 3
Czy można w miejsce gwiazdek wpisać liczby tak, aby w ciągu 10 liczb:

2, *, *, *, *, *, *, *, *, *

suma każdych trzech kolejnych liczb była równa 20?
Zadanie 4
Trzech chłopców kupiło razem 14 zeszytów. Andrzej kupił dwa razy mniej zeszytów niż Czesiek, a Bartek kupił więcej niż Andrzej, a mniej niż Czesiek. Ile zeszytów kupił każdy z chłopców?

Zadanie 5
Pole trapezy ABCD, w których podstawami są boki AB i CD przy czym |AB| > |CD| jest 1,25 razy większe od pola trójkąta ABC. Ile razy podstawa AB jest dłuższa od boku CD?

Zadanie 6
Na prostej zaznaczono punkty: A, B, C, D, F. Jakie są odległości miedzy kolejnymi punktami, jeśli wiadomo, że |AF| = 53 cm, |AB| = 2×|EF|, |AB| > |BC| > |CD|> |DE|> |EF| i odległości miedzy punktami są liczbami całkowitymi?

Zadanie 7
Cenę pewnego towaru obniżono najpierw o 20%, a potem o 15%. Ile wynosiła pierwotna cena towaru, który po dwóch przecenach kosztował 170 złotych?

Zadanie 8
Ogon ryby waży 2 kilogramy, głowa waży tyle, ile ogon i pól tułowia, a tułów tyle, ile głowa i ogon. Ile waży ryba?
Zadanie 9
Kwadrat ma obwód 32 dm. Środki dwóch kolejnych boków tego kwadratu połączono ze sobą i z wierzchołkiem nie należącym do tych boków. Oblicz pole otrzymanego w ten sposób trójkąta. Jaką częścią pola kwadratu jest pole tego trójkąta?
Zadanie 10
W trapezie równoramiennym każde z ramion ma długość 5 cm., a wysokość 3 cm. Pole trapezu jest równe 30 cm2. Oblicz obwód tego trapezu.

Zadanie 11
Przez las szła gromada krasnoludków. W pewnym momencie jeden mówi do drugiego: Ale nas dzisiaj jest dużo, chyba ze stu pięćdziesięciu. Na to ten odpowiada: Gdyby nas było jeszcze raz tyle, jeszcze pół, jeszcze ćwierć, jeszcze siedmiu, to byłoby nas stu pięćdziesięciu. Ile krasnoludków było w lesie?

Zadanie 12
Pewien tyran rzekł do rycerza-młodego matematyka :"Masz szansę uwolnić uwięzioną w baszcie królewnę i uratować swoje życie, jeśli odgadniesz trzy liczby jednocyfrowe a, b, c, które ja pomyślę.
Aby Ci ułatwić walkę o uwolnienie królewny i swoje życie, proponuję byś podał mi trzy liczby x, y, z, a ja podam Ci wartość wyrażenia ax+by+cz."
Czy młody rycerz-matematyk ma szansę uwolnić królewnę i uratować swoje życie?

Zadanie 13
Na okręgu obrano kolejno punkty A, B, C, D, które podzieliły okrąg na część i w stosunku 3:6:5:4. Oblicz miary kątów czworokąta ABCD.

Zadanie 14
Na okręgu o środku O zaznaczono punkty A, B i C tak, że kąt wpisany ABC ma miarę 40o, a kąt środkowy BOC ma miarę 160o. Oblicz miary kątów w trójkątach AOB, AOC, BOC.

Zadanie 15
Zastęp harcerzy miał do przebycia pewną trasę. W pierwszym dniu harcerze przebyli 9/17 trasy, w drugim 4/15 pozostałej trasy, a w trzecim dniu 35,2 kilometra. Ile kilometrów przebyli harcerze w pierwszym i drugim dniu.
Zadanie 16
Dziadek i babcia mają razem 140 lat. Po ile lat ma każde z nich, jeżeli dziadek ma dwa razy tyle lat, ile babcia miała wtedy, gdy dziadek miał tyle lat, ile babcia ma teraz?

Zadanie 17
W prostokątnym trójkącie ABC (kąt prosty przy wierzchołku C) poprowadzono wysokość CH. Znaleźć kąty w tym trójkącie, jeśli wiadomo, że |HB| – |AH| = | AC|.

Zadanie 18
Po skreśleniu ostatniej cyfry pewnej liczby całkowitej dodatniej otrzymano liczbę 12 razy mniejszą. Podaj wszystkie liczby o tej własności.

Zadanie 19
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych jest czterokrotnie mniejszy od drugiego. Oblicz miary tych kątów.

Zadanie 20
Na okręgu o środku O obrano cztery punkty K, L, M, N takie, że |ĐKLM| = 100°, |ĐLMN| = 60°. Wykonaj rysunek pomocniczy i oblicz miary kątów wewnętrznych czworokąta KLMN.

Zadanie 21   Zadanie staroegipskie z rękopisu Rajunda (2000-1700 r. przed Chr.) przechowywanego w muzeum brytyjskim.
Wyznacz liczbę jeżeli suma tej liczby i jej dwu trzecich części zmniejszona o trzecią część tej sumy jest równa 100.

Zadanie 22
Wewnątrz kwadratu leży mniejszy kwadrat. Boki obu kwadratów są odpowiednio równoległe. Wierzchołki kwadratów połączono tak jak na rysunku, tworząc cztery trapezy. Wykaż, że suma pól zacieniowanych trapezów jest równa sumie pól pozostałych dwóch trapezów.

Zadanie 23
Książka zawiera x stronic. Na każdej jest y wierszy, a w każdym wierszu z liter. W drugim wydaniu tej samej książki zmieniono wymiary druku tak, że w każdym wierszu zmieściło się a liter, a na każdej stronie b wierszy. Ile stron zawierało drugie wydanie tej książki?

Zadanie 24
Pole pewnego kwadratu jest nie mniejsze od pola prostokąta, którego jeden z boków jest o 7 cm dłuższy, a drugi o 3 cm krótszy od boku kwadratu. Jaka może być największa długość boku tego kwadratu?