Zadania przygotowawcze
do etapu III-go dla uczniów klas VI szkół podstawowych

Czy istnieje prostokąt, którego długości dwóch boków wynoszą odpowiednio $\frac{3}{7}\text{ i }\frac{2}{15}$ długości obwodu tego prostokąta?

Turysta miał do przebycia 80 km. Pierwszego dnia przebył 60% tego, co przebył drugiego dnia, a trzeciego dnia przebył mniej niż $\frac{2}{5}$ całej drogi. Jakie odcinki drogi mógł przebyć turysta każdego  dnia?

Czy można w miejsce gwiazdek wpisać liczby tak, aby w ciągu 10 liczb suma każdych trzech kolejnych liczb była równa 20?
2, *, *, *, *, *, *, *, *, *

Trzech chłopców kupiło razem 14 zeszytów. Andrzej kupił dwa razy mniej zeszytów niż Czesiek, a Bartek kupił więcej niż Andrzej, a mniej niż Czesiek. Ile zeszytów kupił każdy z chłopców?

Pole trapezu $ABCD$, w których podstawami są boki $AB \text{ i }CD$, przy czym $|AB| \gt |CD|$, jest 1,25 razy większe od pola trójkąta $ABC.$ Ile razy podstawa $AB$ jest dłuższa od boku $CD?$

Na prostej zaznaczono punkty: $A, B, C, D, F.$ Jakie są odległości miedzy kolejnymi punktami, jeśli wiadomo, $\text{że }|AF| = 53\text{ cm}$, $|AB| = 2\cdot |EF|$, $|AB| \gt |BC| \gt |CD|\gt |DE|\gt |EF|$ i odległości miedzy punktami są liczbami całkowitymi?

Cenę pewnego towaru obniżono najpierw o 20%, a potem o 15%. Ile wynosiła pierwotna cena towaru, który po dwóch przecenach kosztował 170 złotych?.

Ogon ryby waży 2 kilogramy, głowa waży tyle, ile ogon i pół tułowia, a tułów tyle, ile głowa i ogon. Ile waży ryba?

Kwadrat ma obwód 32 dm. Środki dwóch kolejnych boków tego kwadratu połączono ze sobą i z wierzchołkiem nie należącym do tych boków. Oblicz pole otrzymanego w ten sposób trójkąta. Jaką częścią pola kwadratu jest pole tego trójkąta?

W trapezie równoramiennym każde z ramion ma długość 5 cm, a wysokość 3 cm. Pole trapezu jest równe 30 cm². Oblicz obwód tego trapezu.

Przez las szła gromada krasnoludków.
W pewnym momencie jeden mówi do drugiego:
Ale nas dzisiaj jest dużo, chyba ze stu pięćdziesięciu.
Na to ten odpowiada:
Gdyby nas było jeszcze raz tyle, jeszcze pół, jeszcze ćwierć, jeszcze siedmiu, to byłoby nas stu pięćdziesięciu.
Ile krasnoludków było w lesie?

Pewien tyran rzekł do rycerza (matematyka młodego):
Masz szansę uwolnić uwięzioną w baszcie królewnę i uratować swoje życie, jeśli odgadniesz trzy liczby jednocyfrowe $a$, $b$, $c$, które ja pomyślę. Aby ułatwić Ci walkę o uwolnienie królewny i swoje życie, proponuje byś podał mi trzy liczby $x$, $y$ $z$, ja zaś podam Ci wartość wyrażenia $ax+by+cz.$
Czy młody rycerz-matematyk ma szansę uwolnić królewnę i uratować swoje życie?

Na okręgu obrano kolejno punkty $A, B, C, D,$ które podzieliły okrąg na części w stosunku 3:6:5:4. Oblicz miary kątów czworokąta $ABCD.$

Na okręgu o środku $O $zaznaczono punkty $A, B \text{ i } C$ tak, że kąt wpisany $ABC$ ma miarę $40^{\circ}$, a kąt środkowy $BOC$ ma miarę $160^{\circ}.$ Oblicz miary kątów w trójkątach $AOB, AOC, BOC.$

Zastęp harcerzy miał do przebycia pewną trasę. W pierwszym dniu harcerze przebyli $\frac{9}{17}$ trasy, w drugim $\frac{4}{15}$ pozostałej trasy, a w trzecim dniu 35,2 kilometra. Ile kilometrów przebyli harcerze w pierwszym i drugim dniu?

Dziadek i babcia mają razem 140 lat. Po ile lat ma każde z nich, jeżeli dziadek ma dwa razy tyle lat, ile babcia miała wtedy, gdy dziadek miał tyle lat, ile babcia ma teraz?

W prostokątnym trójkącie $ABC$ (kąt prosty przy wierzchołku $C$) poprowadzono wysokość $CH.$ Znaleźć kąty w tym trójkącie, jeśli wiadomo, $\text{że }|HB|-|AH|=| AC|.$

Po skreśleniu ostatniej cyfry pewnej liczby całkowitej dodatniej otrzymano liczbę 12 razy mniejszą. Podaj wszystkie liczby o tej własności.

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych jest czterokrotnie mniejszy od drugiego. Oblicz miary tych kątów.

Na okręgu o środku $O$ obrano cztery punkty $K, L, M, N$ takie, $\text{że }|\angle KLM| = 100^{\circ}$ $\text{i }|\angle LMN| = 60^{\circ}.$ Wykonaj rysunek pomocniczy i oblicz miary kątów wewnętrznych czworokąta $KLMN.$

Rozwiąż zadanie staroegipskie z rękopisu Rhiunda (2000-1700 r. przed Chr.) przechowywanego w muzeum brytyjskim.
Wyznacz liczbę jeżeli suma tej liczby i jej dwu trzecich części zmniejszona o trzecią część tej sumy jest równa 100.

Książka zawiera $x\text{ stronic}.$ Na każdej jest $y\text{ wierszy}$, a w każdym wierszu $z\text{ liter}.$ W drugim wydaniu tej samej książki zmieniono wymiary druku tak, że w każdym wierszu zmieściło się $a\text{ liter}$, a na każdej stronie $b\text{ wierszy}.$ Ile stron zawierało drugie wydanie tej książki?

Pole pewnego kwadratu jest nie mniejsze od pola prostokąta, którego jeden z boków jest o 7 cm dłuższy, a drugi o 3 cm krótszy od boku kwadratu. Jaka może być największa długość boku tego kwadratu?