LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU

ZADANIA W ROKU SZKOLNYM 2009/2010


Zadania przygotowawcze III spotkanie  etapu rejonowego w dniu 13.02.2010 r
dla uczniów klas II gimnazjum
Tematyka:
  1. Twierdzenie Pitagorasa z zastosowaniami.
  2. Działania na wyra Zeniach algebraicznych.
  3. Symetrie w układzie współrzędnych.
Zadanie 1
W trójkącie ABC niech D będzie środkiem boku BC. Oblicz pole trójkąta ABC wiedząc, że |AB| = 8 cm, |BC| = 12 cm i |AD| = 10 cm.

Zadanie 2
Wyrażenie         sprowadź do najprostszej postaci i oblicz jego wartość dla       i    .

Zadanie 3
Środkiem sześciokąta foremnego jest punkt (2, 2), a jednym z jego wierzchołków jest punkt (2, 6). Wyznaczyć pozostałe wierzchołki sześciokąta oraz obliczyć jego pole i obwód.

Zadanie 4
Obliczyć odległość między środkami okręgów wpisanego i opisanego dla trójkąta, którego boki mają długości 30, 30, 48.

Zadanie 5
Obliczyć: .

Zadanie 6
W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczną AD. Wyznaczyć kąty trójkąta ABC, jeśli środek okręgu wpisanego w trójkąt ABD jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC.

Zadanie 7
Obliczyć wartość wyrażenia (102 + 1).(104 + 1).(108 + 1). ... .(1064 + 1) . 99

Zadanie 8
Obliczyć

Zadanie 9
W trapezie ABCD podstawami są AB i CD, natomiast ramię AD jest równe sumie podstaw AB i CD. Udowodnić, że dwusieczne kątów wewnętrznych przy wierzchołkach A i D przecinają się na ramieniu BC.

Zadanie 10
Wyznacz pole i obwód trójkąta prostokątnego, w którym długość promienia okręgu  wpisanego jest równa 4 cm i długość promienia okręgu opisanego jest równa 16 cm .

Zadanie 11
Wyznacz pole i obwód trójkąta prostokątnego, w którym długość promienia okręgu  wpisanego jest równa 4 cm i długość promienia okręgu opisanego jest równa 16 cm .

Zadanie 12
Wyznacz pole i obwód trójkąta prostokątnego , w którym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości 2 cm i 8 cm .

Zadanie 13
Wyznacz pole ośmiokąta, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są równe, zaś boki maja długości 2, , 2, , 2, , 2, .

Zadanie 14
Środkiem symetrii rombu jest punkt (0, 0). Jednym z jego wierzchołków jest  punkt (2,-2). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu, jeśli jego pole wynosi 8.

Zadanie 15
W trójkącie prostokątnym ABC, w którym  900, poprowadzono wysokość CD. Niech r będzie promieniem okręgu wpisanego w trójkąt ADC, r1 - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt ADC, r2 - promieniem okręgu wpisanego w trójkąt BCD. Udowodnić, że r + r1 + r2 = |CD|.

Zadanie 16
Obliczyć odległość między środkami okręgów wpisanego i opisanego dla trójkąta, którego boki maja długości 20, 20, 32.

Zadanie 17
Obliczyć wartość wyrażenia:

  1.  ,

  2.  ,

  3.  .



Zadanie 18
Przedstawić w najprostszej postaci:

  1.  ,

  2.  ,



Zadanie 19
Bok prostokąta ma długość 24 cm, a jego przekątna ma długość 26 cm. Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty.  Każdy z nich wpisujemy koło. Oblicz odległość między środkami tych kół.

Zadanie 20
Środkiem sześciokąta foremnego jest punkt (-1, -1), a jednym z jego wierzchołków jest punkt (-5, -1). Wyznaczyć pozostałe wierzchołki sześciokąta oraz  obliczyć jego pole i obwód.

Zadanie 21
Uzasadnij, że w trójkącie prostokątnym suma d długości w przyprostokątnych jest równa sumie średnic okręgu wpisanego i opisanego na tym trójkącie.

Uwaga: W przygotowaniach do III spotkania można wykorzystać zbiór zadań "Liga Zadaniowa" - zad. 51-87, 276-310."