LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 6

Wyznaczyć wszystkie liczby pięciocyfrowe abcde, które są podzielne przez 36 i dla których a<b<c<d<e.

Rozwiązanie

Największą cyfrą jaką możemy podstawić za a może myć 5, by gdyby a było większe niż 5, to b byłoby większe niż 6, c byłoby większe niż 7, d byłoby większe niż 8, e byłoby większe niż 9, a to jest niemożliwe, bo e jest cyfrą. Podobnie rozumując odnośnie pozostałych cyfr dochodzimy do tego, że możliwe cyfry, które możemy podstawić pod kolejne litery, to:


a - 1,2,3,4,5
b - 2,3,4,5,6
c - 3,4,5,6,7
d - 4,5,6,7,8
e - 5,6,7,8,9

Liczba abcde ma dzielić się przez 36, więc także przez 4 i 9.

Z cechy podzielności przez 4 wynika, że liczba de musi dzielić się przez 4.

Patrząc na możliwe cyfry dla d i e, i pamiętając, że d < e mamy trzy możliwości:

(1) de = 48,    (2) de = 56,    (3) de = 68.

  1. Jeśli de = 48, to ponieważ a < b < c < d i d = 4 otrzymamy, że a = 1, b = 2, c =3., więc : abcde = 12348.
    Suma cyfr tej liczby wynosi 1 + 2 + 3 + 4 + 8 = 18, więc z cechy podzielności przez 9 wynika, że ta liczba dzieli się przez 9.
    Zatem liczba 12348 spełnia warunki zadania:

    1 < 2 < 3 < 4 < 8    i     12348 = 36 × 343

  2. Jeśli de = 56, to suma pozostałych cyfr musi wynosić 7, żeby liczba była podzielna przez 9. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy a = 1, b = 2 i c = 4.
    Mamy więc następną liczbę, która spełnia warunki zadania: abcde = 12456.

    1 < 2 < 4 < 5 < 6    i     12456 = 36 × 346

  3. Jeśli de = 68, to suma pozostałych cyfr musi wynosić 4 lub 13, żeby liczba była podzielna przez 9. To jest jednak niemożliwe bo:

    a + b + c ł 1 + 2 + 3 = 6
    a + b + c Ł 3 + 4 + 5 = 12.

Odpowiedź

Są tylko dwie takie liczby: 12348 i 12456.

Paweł Bredy