LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2004/2005
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 22

Czy można liczby naturalne od 32 do 86 włącznie wypisać w pewnej kolejności tak, by otrzymany zapis był zapisem liczby pierwszej?

Rozwiązanie

Będę starała się pokazać, że każda liczba utworzona w ten sposób nie może być pierwsza.

W tym celu zastosuję cechę podzielności przez 11.

CECHA PODZIELNOŚCI PRZEZ 11

Aby sprawdzić, czy duża liczba dzieli się przez 11 wykonujemy następującą rzecz: dzielimy zapis dziesiętny tej liczby na liczby dwucyfrowe od prawej strony tego zapisu (ostatnia z tych liczb może być dwu lub jednocyfrowa).

  • Jeśli suma tych liczb dzieli się przez 11 to cała liczba też dzieli się przez 11.
  • Jeśli suma ta nie dzieli się przez 11, to cała liczba też nie dzieli się przez 11 i reszta z dzielenia przez 11 jest taka sama.

    Uwaga: Jeśli otrzyma suma jest tez dużą liczbą, to procedurę te można powtórzyć.

    Przykład: chcemy sprawdzić czy liczba 234567 dzieli się przez 11.

    1. Dzielimy liczbę 234567 na liczby dwucyfrowe od zaczynając od prawej strony

      23|45|67

    2. Dodajemy: 67 + 45 + 23 = 135
    3. Dzielimy liczbę 135 na liczby dwucyfrowe od zaczynając od prawej strony

      1|35

    4. Dodajemy: 35 + 1 = 36
    5. Liczba 36 nie dzieli się przez 11 więc liczba 234567 też nie dzieli się przez 11.
    6. Reszta z dzielenia 36 przez 11 wynosi 3, więc reszta z dzielenia 234567 przez 11 wynosi 3.

    • Wracam teraz do zadania:

    Na początku dodaję do siebie poszczególne liczby, które mają utworzyć liczbę z zadania od najmniejszej czyli 32 do największej czyli do 86.

    To dużo rachowannia, więc stosuję następującą sztuczkę:

    Tę samą sumę (s) otrzymam gdy dodam te liczby w odwrotnej kolejności: Poniżej dodaję do siebie liczby od najmniejszej do największej i od największej do najmniejszej:

    s = 32 + 33 + 34 + ... + 85 + 86
    s = 86 + 85 + 84 + ... + 33 + 32
    2s=118+118+118+...+118+118

    Widzimy że suma dolnej i górnej liczby zawsze wynosi 118. Teraz potrzebna jest mi ilość liczb od 32 do 86 włącznie, a wynosi ona 55. Następnie muszę policzyć, ile wynosi 2s.
    2s = 55× 118
    Więc :
    s = 55 × 59 = 3245

    Teraz sprawdzam czy liczba 3245 jest podzielna przez 11

    3245:11=295

    Liczba 3245 jest podzielna przez 11, co oznacza, że liczba z zadania w obojętnie jakiej kolejności ją ustawimy będzie zawsze podzielna przez 11. Czyli nie może być liczbą pierwszą.


    Odpowiedź

    Nie można zapisać liczb od 32 do 86 włącznie w pewnej kolejności, tak aby zapis ten był zapisem liczby pierwszej, gdyż będzie ona na pewno podzielna przez 11.

    Martyna Polak