LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Opisz zapis dziesiętny iloczynu ab (jakie cyfry, ile ich jest i w jakiej kolejności), jeśli zapis dziesiętny liczby a składa się tylko ze 100 szóstek, a zapis dziesiętny liczby b składa się tylko ze 100 trójek.

Rozwiązanie

a = 66...6

b = 33...3

1. Spróbujmy przedstawić liczby a, b w inny sposób.

   Zauważmy, że 9 = 10¹ - 1.
   Podobnie 99 = 100 - 1 = 10² - 1.
   Podobnie 999 = 10³ - 1.
   ...
   Podobnie 99...9 = 10¹⁰⁰ - 1 ( liczba zapisana za pomocą stu dziewiątek)

   Mówiąc najprościej, aby uzyskać duże liczby, kolejno potęgujemy dziesiątkę. Co jednak, gdy nasza liczba nie składa się z dziewiątek...? Posłużmy się liczbą 11...1, gdzie cyfra 1 powtarza się sto razy.

   

   Postępując zgodnie z obraną metodą, nasze liczby to...

   a =

   b =

2. Teraz, zgodnie z treścią zadania, obliczamy iloczyn.

   

3. Co dalej?
   Spróbujmy poradzić sobie z tym wynikiem licząc "na piechotę".

   Licznik ostatniego ułamka jest równy

   10²⁰⁰ + 1 - 2×10¹⁰⁰ = 100...01 - 200...0.

   gdzie

   10...01 to jedynka, 199 zer i jedynka,
   200...0 to dwójka i 100 zer

   Trzeba następnie ten licznik pomnożyć przez 2, więc w postaci pisemnej wygląda to tak:

    10...000...01
   -     200...00
    99.99800...01
   x            2
    199.99600...02
   

   Teraz możemy stwierdzić, że w zapisie otrzymanego przez nas wyniku mieści się 99 dziewiątek, oraz 98 zer. Pozostałe trzy cyfry to 1,2, oraz 6.

   Otrzymana liczba z pewnością dzieli się przez 9, ponieważ jedyne cyfry, które nie są ani zerem, ani dziewiątką dają w sumie 9 (1 + 6 + 2 = 9). Skoro tak, spróbujmy podzielić otrzymaną liczbę przez 9... Po obliczeniu działania pisemnie, powinniśmy otrzymać następujący wynik:

   22...2177...78

   gdzie dwójek jest dokładnie tyle, ile dziewiątek w poprzedniej liczbie 199..960...02 - czyli 99, a siódemek jest tyle ile zer w liczbie 199..960...02 - czyli też 99.

Odpowiedź:

a×b = 22...2177...78

Izabella Grzebieniak