LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM
Zadanie 13
Wyznacz liczby pierwsze p , dla ktorych liczba 2p + 1 jest podzielna przez 9.
Rozwi±zanie
Na pocz±tku obliczamy reszty z dzielenia przez 9.
Aby potęga dwójki powiększona o 1 dzieliła się przez 9 to sama potęga musi dawać resztę 8 z dzielenia przez 9.
2n |
Reszta z dzielenia przez 9 |
21=0*9+2 |
2 |
22=0*9+4 |
4 |
23=0*9+8 |
8 |
24=1*9+7 |
7 |
25=3*9+5 |
5 |
26=7*9+1 |
1 |
27=14*9+2 |
2 |
28=28*9+4 |
4 |
29=56*9+8 |
8 |
210=113*9+7 |
7 |
211=227*9+5 |
5 |
212=455*9+1 |
1 |
213=910*9+2 |
2 |
214=1820*9+4 |
4 |
215=3640*9+8 |
8 |
216=7281*9+7 |
7 |
217=14563*9+5 |
5 |
218=29127*9+1 |
1 |
... |
... |
Reszta z dzielenia przez 9 powtarza się co 6. Można z tego wywnioskować, że liczby podzielne przez 9 maj± postać 23+6k +1, gdzie k to liczba równa tyle, ile razy powtórzyli¶my reszte.
Wynika z tego, że p=3+6k.
W tre¶ci zadania czytamy, iż p musi być liczb± pierwsz±, więc 3+6k również.
A więc:
Czy może być p=3? 3+6*0=3, 3 jest liczb± pierwsz± więc p może równać się 3.
Czy może być p=9? 3+6*1=9, 9 nie jest liczb± pierwsz± więc p nie może równać się 9.
Czy może być p=15? 3+6*2=15, 15 nie jest liczb± pierwsz± więc p nie może być 15.
...
Kolejne potęgi dwójki, które daj± reszte 8 z dzielenia przez 9 również nie s± liczbami pierwszymi.
Jedyn± możliwo¶ci±, aby 2p +1 byłlo podzielne przez 9, gdzie p jest liczb± pierwsz± jest p=3.
OdpowiedĽ
Liczb± pierwsz± p , dla ktorej liczba 2p + 1 jest podzielna przez 9 to 3.
Bartosz Majewski