LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 4

Dana jest liczba całkowita a. Uzasadnij, że co najmniej jedna z liczb a3 - a lub a3 + a jest podzielna przez 10.

ROZWIĄZANIE

Cecha podzielności przez 10 mówi, że liczba podzielna jest przez 10 jeśli na końcu tej liczby stoi cyfra 0. Dlatego bierzemy pod uwagę tylko ostatnia cyfrę liczb a³ - a i a³+ a. Liczba a może mieć na końcu jedynie cyfry od 0 do 9. W poniższej tabelce zestawiłem wszystkie możliwe przypadki:

a	a³	a³- a	a³ + a
...0	...0	...0	...0
...1	...1	...0	...2
...2	...8	...6	...0
...3	...7	...4	...0
...4	...6	...0	...8
5	...5	...0	...0
...6	...6	...0	...2
...7	...3	...6	...0
...8	...2	...4	...0
...9	...9	...0	...8

Odp.:Uzasadnieniem jest tabelka, w której łatwo można zauważyć, że każda liczba z pośród liczb a³ - a i a³ + a ma co najmniej jedna możliwość podzielności przez 10.

Przemek Dąbrowski