Zadanie 12

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 12

Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze trzycyfrowe o różnych cyfrach, w których liczba jedności jest równa sumie cyfr dziesiątek i setek.

Rozwiązanie:

Def.: Liczba pierwsza - to taka liczba naturalna, która ma dokładnie 2 dzielniki: 1 i samą siebie, np.: 2, 5, 7, 11, 13, 19, ...

Wypisałem wszystkie liczby naturalne trzycyfrowe o różnych cyfrach i takie, że cyfra jedności jest równa sumie cyfr dziesiątek i setek. Oto one:

123, 213
134, 314
145, 235, 325, 415
156, 246, 436, 516
167, 257, 347, 437, 527, 617
178, 268, 358, 538, 628, 718
189, 279, 369, 459, 549, 639, 729, 819

Jeśli mają być to liczby pierwsze to na pewno możemy wykreślić liczby parzyste i dzielące się przez 5:

123, 213
~~134, 314~~
~~145, 235, 325, 415~~
~~156, 246, 436, 516~~
167, 257, 347, 437, 527, 617
~~178, 268, 358, 538, 628, 718~~
189, 279, 369, 459, 549, 639, 729, 819

Z pozostałych liczb musimy też wykreślić liczby podzielne przez 3.

Łatwo je rozpoznać gdyż suma cyfr liczby podzielnej przez 3 dzieli się przez 3:

~~123, 213~~
167, 257, 347, 437, 527, 617
~~189, 279, 369, 459, 549, 639, 729, 819~~

Zostały liczby:

167, 257, 347, 437, 527, 617

Wiemy, że żadna z nich nie dzieli się przez 2, 3 i 5.

Możemy sprawdzić każdą z nich z osobna, czy jest pierwsza czy nie.

167 ?

nie dzieli się przez 7,
bo 167 = 23×7 + 6.
nie dzieli się przez 11,
bo 167 = 15×11 + 2
nie dzieli się przez 13,
bo 167 = 12×13 + 11
Ponieważ 13×13 = 169 > 167 więc dalej nie ma co sprawdzać, bo gdyby były większe niż 13 dzielniki liczby 167 to po podzieleniu przez ten dzielnik musielibyśmy dostać dzielnik mniejszy niż 13 a już wiemy, że takiego nie ma (oczywiście oprócz jedynki).

167 jest liczba pierwszą

257 ?

nie dzieli się przez 7,
bo 257 = 36×7 + 5.
nie dzieli się przez 11,
bo 257 = 23×11 + 4
nie dzieli się przez 13,
bo 257 = 19×13 + 10
nie dzieli się przez 13,
bo 257 = 15×17 + 2
Ponieważ 17×17 = 289 > 257 więc dalej nie ma co sprawdzać.

167 jest liczba pierwszą

347 ?

nie dzieli się przez 7,
bo 347 = 49×7 + 4.
nie dzieli się przez 11,
bo 347 = 31×11 + 6
nie dzieli się przez 13,
bo 347 = 26×13 + 9
nie dzieli się przez 13,
bo 347 = 20×17 + 7
nie dzieli się przez 19,
bo 347 = 18×19 + 5
Ponieważ 19×19 =361 > 347 więc dalej nie ma co sprawdzać.

347 jest liczba pierwszą

437 ?

nie dzieli się przez 7,
bo 437 = 62×7 + 3.
nie dzieli się przez 11,
bo 437 = 39×11 + 8
nie dzieli się przez 13,
bo 437 = 33×13 + 8
nie dzieli się przez 17,
bo 437 = 25×17 + 12
dzieli się przez 19,
bo 437 = 23×19
437 nie jest liczba pierwszą

527 ?

nie dzieli się przez 7,
bo 527 = 75×7 + 2.
nie dzieli się przez 11,
bo 527 = 47×11 + 10
nie dzieli się przez 13,
bo 527 = 40×13 + 7
nie dzieli się przez 17,
bo 527 = 31×17
527 nie jest liczba pierwszą

617 ?

nie dzieli się przez 7,
bo 617 = 88×7 + 1.
nie dzieli się przez 11,
bo 617 = 56×11 + 1
nie dzieli się przez 13,
bo 617 = 47×13 + 6
nie dzieli się przez 13,
bo 617 = 36×17 + 5
nie dzieli się przez 19,
bo 617 = 32×19 + 9
nie dzieli się przez 23,
bo 617 = 26×23 + 19
Ponieważ 29×29 = 841 > 617 więc dalej nie ma co sprawdzać.

617 jest liczba pierwszą

Odpowiedź: Te liczby to: 167, 237, 347, 617.

Jędrek Kośnikowski