PREZENT WAKACYJNY 2006/7
DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Zadanie 5

Wyznacz liczby dwucyfrowe, które są o 6 mniejsze od kwadratu sumy swoich cyfr.

Rozwiazanie:

Niech x będzie cyfrą dziesiątek, a y cyfrą jedności.

Szukana liczba jest postaci 10x+y

10x+y=(x+y)²-6

Zauważmy, że x jest jedną z liczb 1, 2, 3, ..., 9, a y jedną z liczb 0, 1, 2, 3, ..., 9.

Teraz przyjrzyjmy się prawej stronie tego równania:
(x+y) może przyjmować wartości z zakresu od 1 do 18.

Podnosząc to wyrażenie do kwadratu i odejmując 6 otrzymamy prawą stronę równania, czyli liczby z zakresu od -5 do 318.

Możemy zatem odrzucić wartości od -5 do 9, i od 100 do 324, ponieważ nie są to liczby dwucyfrowe ( muszą być dwucyfrowe, aby prawa strona równała się stronie lewej, która może być od 1 do 99)

10=4²-6 , Musimy się przyjrzeć takiemu (x+y) które jest równe 4, 10²-6=94, czyli pary (x+y)=10 też nas interesują, ale (x+y)=11 już nie , ponieważ 121-6-115 nie jest liczbą dwucyfrową

Szukana liczba musi równać się prawej stronie równania!

Wystarczy więc sprawdzić, czy możliwe prawe strony równania są szukaną liczbą.

Prawa strona dla liczb takich, że x+y=4 wynosi 4²-6=16-6=10 , ale 1+0 nie równa się 4

W skrócie:
P(4)=4²-6=10 , 1+0 nie równa się 4

dalej, stosując ten sam zapis:

P(5)=5*5-6=25-6=19, 1+9 nie równa się 5
P(6)=6*6-6=36-6=30, 3+0 nie równa się 6
P(7)=7*7-6=49-6=43, 4+3=7
P(8)=8*8-6=64-6=58, 5+8 nie równa się 8
P(9)=9*9-6=81-6=75, 7+5 nie równa się 9
P(10)=10*10-6=100-6=94, ale 9+4 nie równa się 10

Odpowiedź:

Agnieszka Dubilewicz