PREZENT WAKACYJNY 2006/7
DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Zadanie 7.

Wyznacz wszystkie liczby naturalne n takie, że dowolna liczba naturalna nieparzysta i sześcian tej liczby nieparzystej mają tę samą resztę z dzielenia przez n.

1. Podstawiamy x jako dowolną liczbę naturalną nieparzystą.
Z tego wynika, że sześcianem tej liczby będzie .
Wiedząc, że konkretne liczby dają tą samą reszte z dzielenia, ich różnica będzie przez nią podzielna:

2. Liczba x jest nieparzysta, zatem liczby x+1 i x-1 są kolejnymi liczbami parzystymi. Ponieważ co druga liczba parzysta dzieli się przez 4 więc jedna spośród liczb x+1; x-1 dzieli się przez 2, a druga przez 4

3. Ponad to x-1; x; x+1 są kolejnymi liczbami naturalnymi, więc co trzecia liczba dzieli się przez 3, więc któraś z tych liczb musi dzielić się przez 3

4. Biorąc pod uwage, że ta liczba dzieli się 2×4×3 czyli przez 24, to także dzieli się przez dzielniki liczby 24 tzn 24,12,8,6,4,3,2,1.

Odp. n może być dowolnym dzielnikiem liczby 24 czyli 24,12,8,6,4,3,2,1.

Opracował: Oskar Filipowicz | Toruń, 12 czerwca 2008r.