PREZENT WAKACYJNY 2006/7
DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

ZADANIE 9

Czy istnieje taka liczba naturalna k, że 5k jest pi±t± potęg± pewnej liczby całkowitej, 6k jest szóst± potęg± liczby całkowitej oraz 7k jest siódm± potęg± liczby całkowitej?


ROZWIˇZANIE


Istniej± takie liczby.

Najprostszy przykład to k = 0.


1.k=0
2.5k=0 i Rozmiar: 1131 bajtów=0, więc 5k jest pi±t± potęg± liczby całkowitej.
3.6k=0 i Rozmiar: 1149 bajtów=0, więc 6k jest szóst± potęg± liczby całkowitej.
4.7k=0 i Rozmiar: 1101 bajtów=0, więc 7k jest siódm± potęg± liczby całkowitej.

Inny przykład to k = 584×635×790

Ogólne rozwi±zanie to k = 56×7×(5a+2)×65×7×(6b+1)×75×6×(7c+3) gdzie a, b, c to dowolne liczby naturalne.


Kinga Kępczyńska