PREZENT WAKACYJNY 2006/7
DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Zadanie 10

Znajdź wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe, które są dwa razy większe od iloczynu liczby utworzonej z dwóch pierwszych swoich cyfr i liczby utworzonej przez ostatnie trzy swoje cyfry.
Uwaga: nie zmieniamy kolejności cyfr.

Rozwiązanie

12345 = 2×12 ×345

• abcde = 2×ab ×cde

  Czyli:
  
  

• ab000 + cde = 2×ab ×cde

  Czyli:
  
  

• ab × 1000 + cde = 2×ab ×cde

• Niech x oznacza liczbę dwucyfrową utworzoną z dwóch początkowych cyfr danej liczby pięciocyfrowej: x = ab

  Niech y oznacza liczbę trzycyfrową utworzoną z trzech końcowych cyfr danej liczby pięciocyfrowej: y = cde

• x × 1000 + y = 2×x ×y

• Wyznaczę z tego równania liczbę trzycyfrową y:

• Najpierw zamienię strony w równaniu:

  2×x ×y= x × 1000 + y

• Odejmę teraz y od obu stron:

  2×x ×y - y= x × 1000

• Wyniosę y przed nawias:

  y(2x - 1) = x × 1000

• Podzielę obie strony przez 2x - 1:

  y =	x × 1000
  	2x - 1

  Ten ostatni ułamek musi więc dać się skrócić tak, żeby mianownik był równy 1. 

  Ale:   Liczby x i 2x - 1 nie mogą mieć wspólnych dzielników różnych od 1, bo 2x - (2x - 1) = 1.
  

  Gdyby liczba d była wspólnym dzielnikiem liczb x i 2x - 1 to liczba 2x dzieliłaby się przez d i liczba 2x - 1 dzieliłaby się przez d a stąd ich różnica też by się dzieliła przez d czyli liczba 1 dzieliłaby się przez d. Stąd liczba d musiałaby być równa 1.
  
  
• Stąd wynika, że liczba 2x - 1 musi być dzielnikiem liczby 1000.
  Ale jak widać liczba 2x - 1 jest nieparzysta, a jedynymi nieparzystymi dzielnikami liczby 1000 są 1, 5, 25 i 125.
• Sprawdzę teraz te możliwości:

  2x - 1	x = ab	y = cde = x × 1000 2x - 1	Liczba abcde	Sprawdzenie
  1	1 (za mało)	----	-----	-----
  5	3 (za mało)	-----	-----	-----
  25	13	520	13520	13520 = 2×13 ×520
  125	63	504	63504	63504 = 2×63 ×504

Odp. Szukane liczby to 13520 i 63504

Autorką rozwiązania jest Sandra Kisielewska.