PREZENT WAKACYJNY 2006/7
DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM
Zadanie 13
Mamy 51 takich liczb, że iloczyn ich jest dodatni i iloczyn każdych czterech z nich jest też dodatni. Pokaż, że każda z tych liczb jest dodatnia.
Rozwiązanie:
Dane: Zbiór 51 liczb.
Założenia:
1. Iloczyn wszystkich liczb jest dodatni.
2. Iloczyn 4 dowolnych liczb jest dodatni.
Twierdzenie: Wszystkie liczby są dodatnie
Dowód:
- Aby iloczyn wszystkich liczb był dodatni liczba czynników ujemnych musi być parzysta.
- Ponieważ wszystkich liczb jest 51, oznacza to, co najmniej 1 liczba jest dodatnia.
- Jeśli wśród danych liczb byłyby choć trzy liczby ujemen to istniałaby czwórka liczb o znakach: - - - +
a więc nie byłoby spełnione założenie nr 2.
- Jeśli wśród danych liczb byłyby dokładnie dwie liczby ujemne lub dokładnie jedna liczba ujemna to liczb dodatnich byłoby 49 lub 50 i z łatwością otrzymamy czwórkę liczb o znakach: - + + +. Ich iloczyn byłby ujemny.
- Zbiór 51 liczb spełniających warunki zadania musiwięc zawierać zame liczby dodatnie.
Wykonał Jakub Kurowski