LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2006/2007
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS I GIMNAZJUM

Zadanie 13

 Czy można narysować:

a) Pięciokąt wypukły, w którym wszystkie kąty są rozwarte,
b) Pięciokąt wypukły, w którym wszystkie kąty są ostre,
c) Sześciokąt wypukły, w którym cztery kąty są ostre i dwa kąty rozwarte,
d) Sześciokąt wypukły, w którym cztery kąty są rozwarte i dwa ostre.

Rozwiązanie:
a) Można.
    Może to być pięciokąta foremny.
    Suma katów w pięciokącie wynosi 540, wiec każdy kąt w pięciokacie foremnym ma 540°:5 = 108°.

b) Nie można.
    Suma kątów w pięciokącie zawsze równa się 540°. Gdyby wszystkie kąty były ostre to ich suma byłaby mniejsza niż 5×90° = 450°.
c) Nie można.
    Suma kątów w pięciokącie zawsze równa się 720°.
    Jeśli sześciokąt jest wypukły to jego kąty są mniejsze niż 180°.
    Gdyby cztery spośród tych kątów byłyby mniejsze niż 90°, to suma wszystkich kątów byłaby mniejsza niż 4×90° + 2×180° = 720°.
d) Można.
    Może to być pięciokąta foremny, np. może to być sześciokąt powstały przez doklejenie do dwóch boków kwadratu trójkątów równobocznych. Taki sześciokąt ma kąty: 60°, 60°, 150°, 150°,150°, 150°.

    Rozmiar: 1270 bajtów

Jakub Kurowski