PREZENT WAKACYJNY 2006/7
DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Zadanie 14

Udowodnij, że wśród dowolnych różnych 53 liczb całkowitych dodatnich, których suma nie przekracza 2007 można wybrać takie dwie liczby, że ich suma jest równa 53.

Rozwiązanie :
Przypuśćmy, że tak nie jest, tzn, że są takie 53 liczby całkowite dodatnie, których suma nie przekracza 2007 ale żadne dwie z tych liczb, nie dają w sumie 53.

Stawiam pytanie: Ile wśród tych liczb może być większych lub równych 53?

Gdyby było ich 30 i byłyby to najmniejsze możliwe liczby to ich suma byłaby równa:

53 + 54 + 55 +... + 80 + 81 + 82 = 15 × 135 = 2025, czyli za dużo bo suma wszystkiech liczb ma być mniejsza od 2007.

Gdyby było ich 29 i byłyby to najmniejsze możliwe liczby to ich suma byłaby równa:

53 + 54 + 55 + ... + 80 + 81 = 2025 - 82 = 1943, czyli (niby) OK.

Wynika stąd, że liczb większych od 53 jest co najwyzej 29.

Zatem liczb mniejszych od 53 jest co najmniej 53 - 29 = 24.

Najmniejsza możliwa suma tych liczb to 1 + 2 + 3 + ...+ 22 + 23 + 24 = 12 × 25 = 300.

Najmniejsza suma takich liczb by się równała 1943 + 300 = 2243 > 2007, a wiec za dużo.

  1. Ostatecznie przypadek : 29 liczb większych niż 53, i 24 liczby mniejsze od 53 daje za dużą sumę wszystkich liczb.

  2. Rozważmy przypadek: 28 liczb większych niż 53, i 25 liczby mniejsze od 53.

    Podobnie rozumujac najmniejsza suma to:

    (1 + 2 + 3 + ... 25) + (53 + 54 + 55 + ... + 80) = 325 + 1862 = 2187 > 2007 - za dużo.

  3. Rozważmy przypadek: 25 liczb większych niż 53, i 28 liczby mniejsze od 53.

    Najmniejsza suma to: (1 + 2 + 3 + ... + 28) + (53 + 54 + 55 + ... + 77) = 2031 > 2007 - za dużo.

  4. Rozważmy przypadek: 24 liczb większych niż 53, i 29 liczby mniejsze od 53.

    Najmniejsza suma to: (1 + 2 + 3 + ... + 29) + (53 + 54 + 55 + ... + 76) = 1983 < 2007 - suma spełnia warunki zadania.
    Wśród tych liczb znajduje się kilka par liczb, których suma wynosi 53.

    Przyklady takich liczb:
    24 i 29, ponieważ 24+29=53
    25 i 28, ponieważ 25+28=53
    26 i 27, ponieważ 26+27=53


    Wniosek końcowy
    W analizowanym przypadku numer 4 zbioru liczb
    można znaleźć pary liczb, dające w sumie 53,
    co zaprzecza stawianej na początku zadania tezie.
    Tym samym udowadnia nam pierwotne założenia zadania.

    Kusiński Łukasz