PREZENT WAKACYJNY 2006/7 DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM

Zadanie 28

Dla jakich dodatnich liczb a i b wyrażenie ma wartość najmniejszą?

Rozwiązanie:

Jeśli a = b to wartość danego wyrażenia jest równa 2½ gdyż wtedy:

=

Pokażę, że liczba 2½ jest najmniejszą wartością podanego w zadaniu wyrażenia.
  1. Po pierwsze zauważmy, że ułamek jest zawsze większy lub równy 2 i jest równy 2 gdy a = b.

    W ostatnim kroku dzieląc obie strony nierówności przez iloczyn ab nie zmienilam znaku nierówności gdyż iloczyn ab jest dodatni (bo a i b sa dodatnie)

    Tu od początku widzimy, że równość zachodzi tylko gdy a = b.

  2. Możemy więc przyjąć, że     = 2 + x gdzie x ł 0. Wtedy

    =

    oraz

    To znaczy, że

    a więc

Odpowiedź:

Jeśli liczby a, b są dodatnie to najmniejszą wartościa wyrażenia      jest   2½.

Agata Wijaczka