LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2008/2009
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 21.

Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego w trójkącie prostokątnym dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki długości 2 cm i 8 cm. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.

Rozwiązanie:

  1. Narysuję opisaną sytuacje i wypiszę dane - tak będzie łatwiej.

    |AH| = 2cm
    |HB| = 8 cm
    |AB| = 10 cm

  2. Z twierdzienia Pitagorasa:

    a2 + b2 = 102
    82 + h2 = b2
    22 + h2 = a2

  3. Rozwiązujemy równania:

    a2 + b2 = 100
    64 + h2 = b2 /-64
    4 + h2 = a2 /-4
    h2 = b2 - 64
    h2 = a2 - 4

  4. b2 - 64 = a2 - 4 /+64
    b2 = a2 + 60

    b2 = 100 - a2
    b2 = a2 +60

  5. Obliczamy a.

    100 - a2 = a2 + 60 /-60
    40 - a2 = a2 /+a2
    40 = 2a2 /:2
    20 = a2 /
    = a
    2= a

  6. Obliczamy b.

    a2 + b2 = 102
    (2)2 + b2 = 102
    20 + b2 = 100 /-20
    b2 = 80 /
    b2 =
    b = 4

  7. Teraz możemy obliczyć pole trójkąta ABC.

    P = a * b : 2
    P = 2 * 4 : 2
    P = 20

  8. Znając długości wszystkich boków obliczamy obwód trójkąta.

    Obw. = a + b + 10
    Obw. = 2 * 4 + 10
    Obw. = 6 + 10

Odpowiedź:

Pole trójkąta ABC wynosi 20cm2, a obwód 6cm + 10cm.

Ola Szymańska